Diskussion:Stieltjesintegral

Anwendungen in der Physik und Limiten

Ein schön aufgebauter und sehr informativer Artikel. Allerdings vermisse ich eine - wenn auch nur stichwortartige - Nennung der eingangs genannten Anwendungen in Physik und Stochastik. Denn ich bin jetzt zwar neugierig geworden, weiß aber nicht, wo ich konkret weitersuchen muss. Ansonsten wäre es vielleicht noch angebracht für Fachfremde kurz die Limiten $h(x\pm )$ zu erklären. Sonst top! --DreamingInRed 00:51, 28. Apr. 2007 (CEST)

Die Limiten zu erklaeren halte ich fuer nicht unbedingt notwendig, weil es eine sehr gebraeuchliche Schreibweise in der Analysis ist. Vielleicht koennte man aber einen Verweis auf eine Seite anfuegen, in der das geschieht. --Tyro 20:01, 26. Feb. 2010 (CET)

Anmerkungen zum mathematischen Hintergrund

In der angegebenen Literaturquelle wird eine andere Definition benutzt. Anstelle von inf und sup sollen die Summen fuer beliebige Zwischenstellen konvergieren, unabhaengig von ihrer Wahl. Ist die Funktion f, ueber die integriert wird, stetig, so sind diese Definitionen aequivalent. Falls jemand eine gute Quelle kennt, die diese Definition einfuehrt, sollte man die Quellenangaben ergaenzen. --Tyro 20:01, 26. Feb. 2010 (CET)

kleine Aenderung

Ich hab die folgenden Zeilen aus dem Artikel entfernt, weil ich annehme, dass sie nur versehentlich aufgenommen wurden:

http://de.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/button_math.png Mathematische Formel (LaTeX)

Original war "Die Schreibweise hierfür ist http://de.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/button_math.png Mathematische Formel (LaTeX)"... --Tyro 16:53, 24. Jan. 2008 (CET)

Beschränktheit von f wirklich gefordert

Ich bin mir ziemlich sicher, dass das Stieltjes-Integral ohne Forderung an eine Beschränktheit von f definiert ist. In meinen Unterlagen kann ich dembezüglich auch nichts finden. Ferner leitet sich für mich folgender Widerspruch daraus ab: Man kann zeigen, dass das Stieltjes-Integral für h=id_I mit I=[a,b] in das Riemann-Integral übergeht. Wäre nun die Beschränktheit von f gefordert, gälte dies auch für jede andere Funktion, die riemannintegrierbar ist. Wir kennen aber genug nicht beschränkte Funktionen, die 'normal' integrierbar sind.

Bitte um Klärung/Korrektur :) (nicht signierter Beitrag von 84.143.146.71 (Diskussion | Beiträge) 23:18, 14. Apr. 2010 (CEST))

Auf dem Integrationsintervall nicht beschränkte Funktionen sind auch nicht Riemann-integrierbar, wie man unmittelbar an den nicht beschränkbaren Zwischensummen sieht. Es gibt dann natürlich noch die uneigentlichen Riemann-Integrale, d.h. Grenzwerte von Integralen, mit welchen man dann über einige Typen von Polstellen hinwegintegrieren kann.--LutzL 08:10, 15. Apr. 2010 (CEST)

h differenzierbar

Bisher stand hier:

• Ist $h$ differenzierbar, so gilt

  $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} h(x)=\int _{a}^{b}f(x)h'(x)\,\mathrm {d} x.$

(Im Lebesgueschen Sinne: $h\!\,'$ ist die Dichte von $\mu _{h}$.)

Ich bezweifle, dass Differenzierbarkeit genügt. Man braucht sicher eine Bedingung, die die Integrierbarkeit sicherstellt. Ich habe deshalb daraus mal „stetig differenzierbar“ gemacht. -- Digamma 14:14, 3. Aug. 2010 (CEST)

Anwendung in der Physik?

Worauf bezieht sich das? --Chricho ¹ ² 18:14, 8. Mär. 2012 (CET)

Nach kurzer Recherche glaube ich es geht um G. C. Evans und das Stieltjes-Potential in der Potentialtheorie, vgl. https://edoc.hu-berlin.de/series/mathematik-preprints/2002-2/PDF/2.pdf https://scholarship.rice.edu/bitstream/handle/1911/8616/article_RI074252.pdf?sequence=5 . --Erzbischof 09:16, 9. Mär. 2012 (CET)

Partielle Integration

Zumindest beim Lebesgue-Stieltjes-Integral gilt diese Formel so nicht allgemein. Man bekommt nämlich Probleme an den Sprungstellen. Siehe Hewitt, Stromberg, Real and abstract analysis, S. 419. (Der Teil über das Riemann-Stiltjes-Integral ist leider nicht einsehbar.) --Digamma (Diskussion) 11:53, 8. Jun. 2012 (CEST)

Ja stimmt, da muss man etwas vorsichtiger sein. Ich schau mal, was eine vernünftige Version für die Voraussetzungen an f und h im Artikel wäre. -- HilberTraum (Diskussion) 12:04, 8. Jun. 2012 (CEST)

Puh, wenn ich gewusst hätte, was sich bei so einer kleinen Ergänzung für eine schwierige Ecke auftut ;-). Also für das Riemann-Stieltjes-Integral gilt die Formel (jetzt auch mit ref), bei Lebesgue-Stieltjes ist es aber komplizierter und hängt wohl auch von der verwendeten Definition ab. Das heißt, mit der Behauptung des Artikels "Falls zu $f\,\!,h\,\!$ und $[a,b]\,\!$ das Riemann-Stieltjes-Integral existiert, so existiert auch das zugehörige Lebesgue-Stieltjes-Integral und die beiden Werte stimmen überein." müsste man wahrscheinlich auch etwas vorsichtiger sein. So pauschal dürfte das nicht stimmen. -- HilberTraum (Diskussion) 14:40, 8. Jun. 2012 (CEST)

Es ist entscheidend, ob die Funktionen $f$ und $h$ an den Stellen $a$ oder $b$ Sprungstellen haben. Falls z. B. $h$ rechtsseitig stetig ist und an der Stelle $a$ eine Sprungstelle hat, so ist anstelle von $h(a)$ der linksseitige Grenzwert zu verwenden. In der angegebenen Form ist die Formel zur partiellen Integration falsch, aber z. B. für stetige Funktionen $f$ und $h$ richtig. Die Referenz ist irreführend, da sie den Fall des Stieltjes-Integrals nicht abdeckt. --Sigma^2 (Diskussion) 15:17, 27. Jan. 2013 (CET)

Welche Referenz meinst du, den Walter, Analysis 2? Dort ist die Aussage doch für Riemann-Stieltjes-Integrale gezeigt. Lebesgue-Stieltjes ist damit nicht abgedeckt, aber im Artikel wird die Formel auch nur für Riemann-Stieltjes gegeben. -- HilberTraum (Diskussion) 16:42, 27. Jan. 2013 (CET)

Völlig richtig, ich war im Irrtum. Alles kann zunächst so bleiben. Das von mir angesprochene Problem gibt es erst beim Lebesgue-Stieltjes-Integral. Mit Referenz meinte ich den Link zum Artikel partielle Integration, der dem Leser bezüglich partieller Integration beim Lebesgue-Stieltjes-Integral nicht so richtig weiterhilft. Schön wäre aber eine Regel für die partielle Integration für den Lebesgue-Stieltjes-Fall. Ich wäre froh über eine gut lesbare Quelle zur partiellen Integration im Lebesgue-Stieltjes-Fall. Z. B. G. R. Shorack, Probability for Statisticians, Springer 2000, Propostion 4.1, S. 115 ist schon ganz gut, aber als Referenz in der Wikipedia vielleicht etwas abgehoben.--Sigma^2 (Diskussion) 17:21, 27. Jan. 2013 (CET)

Erste angegebene Eigenschaft

Zum Unterschied zwischen Riemann-Stieltjes-Integral und Lebesgue-Stieltjes-Integral versuche ich es mit einem Beispiel. Für $h(x)=\mathbf {1} _{[0,\infty )}(x)$ und $f(x)=1$ für alle $x$ ergibt sich das Lebesgue-Stieltjes-Integral $\int _{[0,2]}f(x)\mathrm {d} h(x)=1$, während sich bei der Definition des Riemann-Stieltjes-Integral über die Riemann-Zwischensummen $\int _{0}^{2}f(x)\mathrm {d} h(x)=0$ ergibt. Dann ist also die Aussage über die Übereinstimmung der Integrale, falls diese existieren, falsch. Oder sehe ich das falsch? Allerdings stimmt das Riemann-Stieltjes-Integral mit dem Lebesgue-Stieltjes-Integral $\int _{(0,2]}f(x)\mathrm {d} h(x)=0$ überein (Integration ohne die Stelle Null). --Sigma^2 (Diskussion) 17:54, 27. Jan. 2013 (CET)

Ja, ich habe den Satz jetzt mal entfernt. Das Verhältnis der beiden Integralbegriffe zueinander ist komplizierter und bräuchte einen eigenen Abschnitt. -- HilberTraum (Diskussion) 20:08, 27. Jan. 2013 (CET)

Mehrdimensionales Stieltjes-Integral und Anwendungen

Es sollte unbedingt das mehrdimensionale Stieltjes-Integral eingebaut werden, da dieses wichtig ist für eine wichtige physikalische Anwendung: das Trägheitsmoment. Wenn man das Mehrdimensionale weglässt, kann man dafür den Trägheitstensor einbauen. Am Besten ist natürlich beides --Diogenes2000 (Diskussion) 13:05, 3. Apr. 2020 (CEST)

Ich finde unter "mehrdimensionales Stiltjesintegral" keine Google-Treffer. Was soll das sein? --Digamma (Diskussion) 20:09, 3. Apr. 2020 (CEST)