Diskussion:Ultrafilter

Im Artikel ist T eine Teilmenge von X und damit mengenwertig, ebenso ist F mengenwertig. Ist es nicht paradox, dass die Menge T einmal eine Teilmenge und einmal ein Element der Menge F ist?bitte diskussionsbeiträge mit vier tilden (~~~~) unterschreiben, damit man sie personen und zeitpunkten zuordnen kann.

nein, das ist nicht paradox. eine teilmenge von X ist ein element der menge der teilmengen von X. grüße, Hoch auf einem Baum 13:37, 4. Mär 2005 (CET)

Ich möchte, anmerken, dass es nicht DER Filter heißt, sondern DAS Filter. Das wird leider immer wieder falsch gemacht. Es handelt sich schließlich nicht um Kaffefilter oder ähnliches. (Hanfmampf 20:21, 22. Jan. 2008 (CET))

Hast du dafür irgendwelche Belege? Ich meine im Querenburg auch immer nur "den" Filter gelesen zu haben und in meiner Topologievorlesung war es genauso. -- Konstruction 19:44, 2. Feb. 2008 (CET)

Da ich bis jetzt noch nie von "DAS Filter" gehört habe, dafür aber in fast jedem Topologie-Buch (z.B. "Querenburg - Mengentheoretische Topologie" ) von "DER Filter", werde ich das jetzt mal ändern, bis Quellenangaben kommen, dass "DAS Filter" 1. existert und 2. häufiger ist als "DER Filter". --Cosine 14:43, 24. Nov. 2008 (CET)

Problem beim Punkt Vollstaendigkeit:

Ein Filter heisst allgemein kappa-vollstaendig, wenn fuer alle my<kappa (beides Kardinalzahlen) der Schnitt ueber my viele Elemente vom Filter wieder im Filter liegt. Ein Ultrafilter muss aber nicht, wie im Artikel behauptet, Aleph_0-vollstaendig sein: Sei F der Frechet-Filter auf Aleph_0. Es gibt einen Ultrafilter U auf Aleph_0, der F fortsetzt. Die Mengen A_n:=Aleph_0-{0,1,..,n} sind alle in F, also auch in U. Der Schnitt ueber alle (das sind Aleph_0 viele) ist aber offensichtlich leer. Also ist U nicht Aleph_0-vollstaendig. Desweiteren kenne ich sigma-vollstaendig auch nur als eine andere Bezeichnung fuer Aleph_1-vollstaendig. D.h. ist ein Filter kappa-vollstaendig mit einem kappa>Aleph_0, so ist er nicht sigma-vollstaendig, wenn kappa>Aleph_1. (-- 88.75.137.130 19:01, 20. Jan. 2010 (CET))

Lies bitte die Definition :) Ist kappa die kleinste Kardinalzahl, sodass der Schnitt über kappa Elemente _nicht_ im Filter liegt, dann heißt der Filter kappa vollständig. Da endliche Schnitte des Filters p.d. immer im Filter liegen müssen, folgt, dass ein Filter mindestens aleph_0 vollständig ist, da erst abzählbar viele Schnitte nicht mehr im Filter liegen müssen, da sie z.B. leer sein können. Das stimmt auch mit deiner Definition überein: Für alla µ<kappa (beides Kardinalzahlen) muss der Schnitt über µ-viele Elemente wieder im Filter liegen. Das heißt aber nicht, dass der Schnitt über kappa viele Elemente wieder im Filter liegen muss. In diesem Fall ist kappa die kleinste Kardinalzahl für die der Schnitt aus kappa Mengen des Filters _nicht_ im Filter liegt. Sei kappa=Aleph_2, dann ist der Filter Aleph_2 vollständig. Nach deiner Definition müsste man ihn aber auch Aleph_1 und Aleph_0 vollständig nennen, was obsolet wäre, weshalb die im Artikel verwendete Definition und die Folgerungen vollkommen in Ordnung sind. --22:42, 5. Nov. 2010 (CET) (ohne Benutzername signierter Beitrag von 138.246.7.8 (Diskussion) )

Verständnisproblem

Dieser Artikel hilft mir nicht zu verstehen, was der Artikel Hyperreelle Zahlen im Abschnitt Konstruktion mit einem "freien Ultrafilter U auf den natürlichen Zahlen" meint. Kann das bitte jemand - hier oder dort - verdeutlichen? --Eldred 11:29, 5. Mär 2005 (CET)

Ich versuchs mal, hier. -- Konstruction 19:44, 2. Feb. 2008 (CET)

Erweiterung des Artikels

Hi,

ich habe mich mit der Erweiterung des Artikels beschäftigt und mich bei der Definition an Filter_(Mathematik), Th. Camps, S. Kühling, G. Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. Lemgo : Heldermann, Berliner Studienreihe zur Mathematik; Bd. 15. Kapitel 13. Seiten 203ff. ISBN: 3-88538-115-X. Und an der englischen Wiki orientiert. 2 Versionen sind vorhanden, weil mir ein Formatierungsfehler bei der Vorschau nicht aufgefallen war. Ich bitte jemanden dass zu Sichten und evnt. Fehler, ... noch zu korrigieren. Was mir noch fehlt ist ein Absatz zu den Anwendungen von Ultrafiltern, wie er in der englischen Wiki vorkommt.

mfg --Snake707 16:28, 28. Dez. 2009 (CET)

Revert von Chricho

Mit deinem Revert - oder v.a. der Begründung - bin ich nicht hundertprozentig einverstanden. Erstmal hatte ich ja einen falschen Satz von dir korrigiert, ich nehme mal AGF an und denke, dass du da keinen IK hast^^. Der Satz von dir hätte dann deiner Argumentation nach dann auch schon nicht reingehört.

Zu deiner Begründung: Wenn ich behaupte, dass es egal ist, welches x ich nehme, dann impliziere ich doch damit, dass ich zeigen kann, dass es egal ist, und nicht, dass es relativ konsistent ist, dass es egal ist, welches x ich nehme.

Aber: Ich finde es hier auch besser, nur zu sagen, dass man einen Ultrafilter zur Konstruktion eines Ultraproduktes braucht, ein Beispiel dafür sind die hyperreellen Zahlen.

Der Artikel über hyperreelle Zahlen sollte mE elementar bleiben, da haben komplizierte relative-Konsistenz-Argumente mE auch keinen Platz, nur über einen Link. Ich werde das aus meiner Überarbeitung auch noch irgendwie rausbauen.

Im Artikel über Ultraprodukte werde ich dann einfügen, dass abzählbare Ultraprodukte unter CH isomorph sind (mit Beweisskizze über die entscheidenen Sätze, dafür müssen aber noch kurze Artikel geschrieben werden.) Dort sollte dann mit der Quelle stehen, dass zB Ultraprodukte von R ohne Ch nicht-isomorph sein können, als Gegenbeispiel.

Das ist jetzt eine Disk-Beitrag von mir zu einigen Artikeln, es ist nicht ganz leicht, dafür einen richtigen Ort zu finden, deshalb alles hier.(nicht signierter Beitrag von Frogfol (Diskussion | Beiträge) 22:13, 21. Aug. 2012 (CEST))

Oh, tatsächlich, das war von mir, ich hatte das gedankenlos aus dem Artikel zu den hyperreellen Zahlen übernommen. Pardon. Mit IK meinst du Interessenkonflikt? Nein, ich gehöre nicht der heiligen Bruderschaft des Kontinuums als Supremum abzählbarer Ordinalzahlen an. Mein Bearbeitungskommentar war etwas einseitig, natürlich sollte man betonen, dass darauf zu achten ist etc., aber man sollte es eben nicht nur negativ sehen, es erlaubt einem auch Schlüsse. Eine „ausgewogene“ Darstellung im Kommentar war mir nicht die Mühe wert, da das Ergebnis, dem du ja auch zustimmst, ohnehin war, dass die Information dort nichts zu suchen hat. Die so betonte Nennung dieses Negativergebnisses war an der Stelle auch einfach ziemlich unpassend. Wie gefällt es dir so? Hast du irgendeine bessere Quelle als diese Seite da? (wo auch etwas zu Beweisen etc. steht) --Chricho ¹ ² ³ 22:35, 21. Aug. 2012 (CEST)

Übrigens war das kein Revert, habe nur unter Berücksichtigung der Diskussionen stark gekürzt. ;) --Chricho ¹ ² ³ 22:36, 21. Aug. 2012 (CEST)

In der Quelle steht auch nur „If, on the other hand, if we decide to not include the continuum hypothesis, then the situation is undetermined.“ Für mich geht da Äquivalenz nicht eindeutig raus hervor. --Chricho ¹ ² ³ 22:39, 21. Aug. 2012 (CEST)

So gefällt es mir^^, mit IK meinte ich dass ich deinen Beitrag verändert hatte. Egal, so hatte ich dich eigentlich auch nicht eingeschätzt. Wie gesagt, dass aus CH Iso folgt, werd ich - im verallgemeinerten Fall - sowieso einbauen; die englischen Quellen muss ich dann nochmal genau anschauen. Mich hatte das nur gewundert, dass das positive Ergebnis da stehen sollte, das negative nicht. So, ist klar jetzt.

Ähm, Das ist jetzt eine Disk-Beitrag von mir zu einigen Artikeln, es ist nicht ganz leicht, dafür einen richtigen Ort zu finden, deshalb alles hier.

Deshalb weiter OT: Mit Non-Standard-Analysis kenn ich mich nicht aus, mein Eindruck aber ist, dass man da nur (oder nicht viel mehr als) eine elementare Erweiterung der reellen Zahlen braucht, die genaue Struktur ist uninteressant. Es gibt ja auch verschiedene Zugänge zu der non-stand-Analysis. Deshalb sind die Isofragen vermutlich für die Nichtstandardler wahrscheinlich eh nicht interessant. Aber das ist nur eine Vermutung.--Frogfol (Diskussion) 23:00, 21. Aug. 2012 (CEST)

Kann schon gut sein, dass das nicht so wichtig ist, wenn ich mir mal so eine nicht formale Einführung anschaue (ab Seite 24)… Bei Chang und Keisler, Model Theory steht auf Seite 386 (zu Korollar 6.1.2) ein Verweis auf ein Beispiel, wo keine Isomorphie vorliegt, jedoch sinds nicht die reellen Zahlen. --23:27, 21. Aug. 2012 (CEST)

Unfug hatte ich da geschrieben, nochmal neu. 6.1.2 geht in Richtung des von mir intendierten Beweises (s.o.). In meiner Ausgabe hier steht leider kein Beispiel.(Edit: Bei mir steht 6.1.2 auch schon auf S. 308^^, hab ne alte Ausgabe)--Frogfol (Diskussion) 23:49, 21. Aug. 2012 (CEST)

„Roitman (1982) showed that the continuum hypothesis is needed in Corollary 6.1.2. In an extension of a model of ZFC with $\alpha$ Cohen reals [keine Ahnung, was das ist], she proved that for each uncountable regular $\beta \leq \alpha$ there is an ultrapower $D$ over $\omega$ such that $\textstyle \prod _{D}\langle \omega ,\leq \rangle$ has cofinality $\beta$. See also Canjar (1988).“

Das steht da geschrieben. Zu den hyperreellen Zahlen: Hier (unter Definition 2.2) steht immerhin das interessante Ergebnis, dass die Struktur immer ein Ultralimit ist (unter sehr schwachen Voraussetzungen), die Wege scheinen also nicht so verschieden zu sein, aber auch nicht nur Ultraprodukte. --Chricho ¹ ² ³ 00:09, 22. Aug. 2012 (CEST)

Cohen reals sollten reelle Zahlen sein, die ich herbeiforce, denke ich. Den Rest muss ich mir mal anschauen. Danke auf jeden Fall mal.--Frogfol (Diskussion) 00:27, 22. Aug. 2012 (CEST)

Konvergenz?

In den Anwendungen wird von konvergenten Ultrafiltern gesprochen. Im Artikel wird "Konvergenz von Filtern" aber gar nicht definiert.--S. K. Kwan (Diskussion) 02:32, 7. Mai 2017 (CEST)