Diskussion:Zerfällungskörper

Gehört zu Mathematik -> Algebra - Gruß, Christian

manchmal reicht der Link mitm Zaunpfahl nicht, da muss es der ganze Vorgarten sein... Also: da soll erstmal eine allgemeine Beschreibung hin, was das ist, DANN die mathematische Formel. --TheK 14:41, 17. Jun 2004 (CEST)

Zornsches Lemma

Zur Existenz der Zerfällungskörpers eines Polynoms $f\in K[X]$ benötigt man das Zornsche Lemma nicht. Ist etwa $h$ ein irreduzibler Faktor, so ist $L=K[X]/hK[X]$ eine Körpererweiterung von $K$, die mit der Restklasse $\xi :=X+hK[X]\in L$ eine Nullstelle von $h$ und damit von $f$ enthält. Damit ist $f=f_{1}\cdot g_{1}\in L[X]$, so dass $g_{1}$ über $L$ in Linearfaktoren zerfällt $\mathrm {grad} (f_{1})<\mathrm {grad} (f)$. Indem man dieses Vorgehen endlich oft iteriert,also im nächsten Schritt auf $f_{1}$ anwendet und eine Zerlegung $f_{1}=f_{2}g_{2}$ mit analogen Eigenschaften erhält, kann man schließlich einen Erweiterungskörper finden, über dem $f$ vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Das Zornsche Lemma wird hier nicht benötigt, das ist wohl erst bei uendlichen Familien von Polynomen erforderlich. Sollte man das im Artikel irgendwie unterbringen? (Die englische Wikipedia ist hier sehr ausschweifend) --FerdiBf (Diskussion) 09:49, 1. Mär. 2015 (CET)

Ja, zu dieser Konstruktion wollte ich auch noch was schreiben, aber in den Büchern, in die ich geschaut habe, wird Existenz des Zerfällungskörpers immer mit einem algebraischen Abschluss gezeigt. Die Konstruktion wird nur verwendet, um den Satz zu beweisen, dass es zu jedem Polynom einen Erweiterungskörper gibt, in dem es eine Nullstelle hat. Kennst du ein Buch, in dem die Konstruktion direkt für Zerfällungskörpers verwendet wird? Dann könnte man das dazuschreiben. Den englischen Artikel habe ich gesehen und fand, dass der Abschnitt in dieser Ausführlichkeit den Artikel ziemlich unübersichtlich macht und den Lesefluss stört. Das sollte hier deutlich straffer gehalten sein. -- HilberTraum (d, m) 11:31, 1. Mär. 2015 (CET)

Zum Beispiel Meyberg, Algebra Teil 2. Ich habe mir erlaubt, das einschlägige Kapitel in die Literaturliste aufzunehmen. Der dortige Satz 6.5.1 beinhaltet genau den auf Kronecker zurückgehenen Trick, eine Nullstelle in $K[X]/hK[X]$ finden, wie oben erwähnt. Der dortige Satz 6.5.4 "Zu jedem Polynom f über dem Körper K gibt es einen Zerfällungskörper L:K mit [L:K] <= (Grad f)!" verwendet genau oben erwähnten Trick in einem Induktionsbeweis.--FerdiBf (Diskussion) 12:26, 1. Mär. 2015 (CET)

Super, danke! Ich werde mir das morgen durchlesen und dann einen Abschnitt dazu einfügen. -- HilberTraum (d, m) 14:52, 1. Mär. 2015 (CET)

Hab jetzt was dazu ergänzt. Vielleicht willst du ja nochmal drüberschauen. -- HilberTraum (d, m) 11:47, 2. Mär. 2015 (CET)

Danke für die Ergänzung. Genau so etwas hatte mir vorgeschwebt.--FerdiBf (Diskussion) 21:42, 4. Mär. 2015 (CET)