Diskussion:Zusammenhang (Differentialgeometrie)

Titel dieses Wikipedia-Artikels

Der Titel dieses Wikipedia-Artikels ist nicht korrekt: Es handelt sich um die Beschreibung von Zusammenhängen auf Vektorbündeln. Der Titel sollte also korrekt heißen: Zusammenhang (Vektorbündel) und nicht Zusammenhang (Differentialgeometrie), weil es in der Differentialgeometrie noch andere Zusammenhänge gibt.

Jeder Zusammenhang auf einem Prinzipalfaserbündel induziert einen Zusammenhang auf dem assoziierten Vektorbündel. Umgekehrt wird jeder Zusammenhang auf einem Vektorbündel von einem Zusammenhang auf dem Reperbündel des Vektorbündels induziert.(nicht signierter Beitrag von 2003:C7:F736:7D32:81DA:AF2E:260F:D072 (Diskussion) 18:59, 8. Apr. 2024 (CEST))

Connection <-> Zusammenhang

Meines Wissen wird nirgenwo in der aktuellen Literatur zum Thema Differentialgeometrie der Begriff Connection eingedeutscht. Wer hier etwas zu diesem Thema sucht, könnte ins Leere laufen. Wie ist die Meinung dazu? --Ralf Scholze 15:43, 21. Nov. 2006 (CET)

Ich habe "connection" noch in keinem deutschen Text gesehen, auch über Google kann ich nichts finden.--Gunther 15:52, 21. Nov. 2006 (CET)

Ich kenne auch keine modernen Lehrbücher über Differentialgeometrie in deutscher Sprache --Ralf Scholze 15:54, 21. Nov. 2006 (CET)

Damit ist das wohl geklärt.--Gunther 16:00, 21. Nov. 2006 (CET)

http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/relativity/node141.html

http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/relativity/node138.html

Die Textbücher anhand dere ich moderne Differnetialgeometrie zu meinen Studienzeiten gelernt habe, waren alle englisch. (nicht signierter Beitrag von Benutzer:Ralf Scholze 21:14, 21. Nov. 2006)

Es gibt ja auch deutschsprachige Mathe-Lexika... Der deutsche Begriff "Zusammenhang" ist völlig üblich. --Stefan Neumeier 01:11, 22. Aug. 2010 (CEST)

Schnitt Schnitt

Soll im Text wirklich zweimal "Schnitt" hintereinander stehen oder ist das ein Fehler? (nicht signierter Beitrag von 217.187.140.225 (Diskussion) 22:16, 19. Jul 2010 (CEST))

Es war ein Fehler, danke schön. --Christian1985 02:18, 20. Jul. 2010 (CEST)

Tensor und Christoffelsymbole

Hallo, ich verstehe die aktuelle Änderung nicht. Das Objekt $\nabla _{X}Y$ soll ein Tensor sein? Nun zuerst einmal ist dies ein Vektorfeld, also ein einstufiges Tensorfeld. Die Abbildung $\nabla :\Gamma (M)\times \Gamma (M)\to \Gamma (M)$ ist kein Tensorfeld, da die Abbildung in $Y$ nicht funktionenlinear ist. Sie ist $\mathbb {R}$-linear in $Y$, aber das ist in der Differentialgeometrie ja recht uninteressant. Wird in dem Artikel vielleicht die Abbildung $X\mapsto \nabla _{X}Y$ als (1,1)-Tensorfeld verstanden? Dann verstehe ich aber die lokale Darstellung nicht! --19:16, 12. Jan. 2011 (CET)

Genau so ist es. Ich habe die Änderungen zurückgesetzt. Die Komponenten der lokalen Darstellung der Abbildung $X\mapsto \nabla _{X}Y$ (der kovarianten Ableitung von $Y$) heißen $y^{k}{}_{;i}$ und es gilt

$y^{k}{}_{;i}=\Gamma _{ij}^{k}y^{j}+\partial _{i}y^{k}=\Gamma _{ij}^{k}y^{j}+y^{k}{}_{,i}$

mit $y^{k}{}_{,i}=\partial _{i}y^{k}$.

Manchmal nennt man auch die Komponenten $y^{k}{}_{;i}$ selbst kovariante Ableitungen -- Digamma 22:13, 12. Jan. 2011 (CET)

In der Tat: genau so ist es. Es besteht also kein Widerspruch, sondern nur zu vorübergehender Irritierung führende unterschiedliche Gebräuche bei theoretischen Physikern und Mathematikern. Bleibt zu bemerken, dass die $\Gamma$s und die Ausdrücke mit den $\partial$ in obiger Formel zwar zwei freie Indizes haben, aber in ihrem Transformationsverhalten von dem Verhalten zweistufiger Tensoren abweichen, im Gegensatz zur kovarianten Ableitung $y_{\,;i}^{k}\,.$ Die Bedeutung der $\Gamma$-Variablen ist vielmehr die folgende (vgl. alle Bücher über Allgemeine Relativitätstheorie (ART), z.B. Landau-Lifschitz Bd. II, oder das Buch von Hermann Weyl). Der Ausdruck allein hat eine komplizierte Interpretation: es handelt sich darum, dass der Vektor Y vom betrachteten Punkt P durch infinitesimale „Parallelverschiebung“ (ein wichtiger Begriff in der ART) in Richtung von $X$ transportiert wird, also zu einem infinitesimal entfernten Punkt P'. Dagegen erhält man für $y_{\,;i}^{k}\,,$ nicht dagegen für $y_{\,,i}^{k}\,,$ das richtige Transformationsverhalten, das zum Tensorprodukt des betrachteten Vektorraums $V_{P}$ „mal“ $(\otimes )$ seinem Dualraum ${\stackrel {*}{V}}_{P}$ passt (man erhält diesen Dualraum bekannntlich mit dem „metrischen Fundamentaltensor“ g). - MfG, Meier99 17:03, 13. Jan. 2011 (CET)

Die "$\Gamma$-Variablen" (eigentlich heißen sie Christoffelsymbole) sind gerade die Koeffizienten des Zusammenhangs $\nabla$, der eben kein Tensor ist. Die Interpretation des Zusammenhangs mittels Parallelverschiebung fehlt im Artikel bisher noch. Mathematiker benutzen dazu richtige (im Gegensatz zu "infinitesimalen") Parallelverschiebungen um ein Stück $t$ des Vektors $Y$ längs einer Kurve mit Richtungsvektor $X$ und lassen dann $t$ gegen 0 gehen (ganz grob gesagt). In der Praxis ist es aber so, dass der Zusammenhang $\nabla$ vorgegeben wird. Daraus kann man dann definieren, was "parallel" heißt, und damit Parallelverschiebungen definieren. -- Digamma 17:35, 13. Jan. 2011 (CET)

Ergänzung: Im Artikel Christoffel-Symbole steht ein bisschen was über die Indexdarstellung der kovarianten Ableitung. -- Digamma 18:12, 13. Jan. 2011 (CET)

@Meier99: Sorry, dass ich heute alle deine Änderungen revertiere. Aber der Absatz über den Paralleltransport geht gar nicht. Erstens ist das alles viel zu schwammig. Jemand, der das noch nicht kennt, versteht gar nichts. Zweitens ist es der Zusammenhang selbst (das Thema des Artikels), der mit dem Paralleltransport im Zusammenhang steht, und nicht die Christoffelsymbole, die diesen Zusammenhang nur in Koordinaten beschreiben. Zum Paralleltransport gibt es einen eigenen Artikel. Leider steht dort nur, wie man vom Zusammenhang zum Paralleltransport kommt. Hier bräuchte man die Umkehrung: Vom Paralleltransport zum Zusammenhang. Das ist aber ein umfangreicheres Vorhaben, das man nicht mit ein paar vagen Sätzen abhandeln kann. -- Digamma 20:41, 14. Jan. 2011 (CET)

OK! Ich stimme Dir voll zu. So wie er jetzt dasteht, ist der Artikel m.E. optimal. Du brauchst Dich im Übrigen nicht wegen Revertierei zu entschuldigen, im Gegenteil. Denn so wie ich die Wikipedia verstehe, ist das was Du machst, genau richtig, und jeder, der guten Gewissens, im Sinne eines Verbesserungsversuchs, einen Beitrag liefert, sollte von vornherein damit rechnen und es als relevant akzeptieren, dass sein Beitrag wieder revertiert wird (im Grunde bin ich es, nicht Du, der "sorry!" sagen sollte). Im Übrigen bin ich nachträglich voll Deiner Meinung; aber auch wenn es anders wäre, brauchtest Du nicht "sorry" zu sagen. -- In diesem Sinne, mfG, Meier99 13:36, 15. Jan. 2011 (CET)

Differnzenquotient vs. Differentialquotient

Auch wenn mein Bearbeitungskommentar vielleicht den Eindruck erweckt hat: Meine Änderungen im Abschnitt Motivation beruhten nicht auf Vermutungen. Das Problem beim Ableiten von $\gamma '$ ist, dass $\gamma '(t)$ für jedes $t$ in einem andern Vektorraum liegt. Deswegen kann man nicht einfach ableiten. Wenn man das Problem genauer anschaut, sieht man, dass das daran liegt, dass man beim Ableiten zunächst Differenzenquotienten bilden muss, also hier so etwas wie

${\frac {\gamma '(t)-\gamma '(t_{0})}{t-t_{0}}},$

um in einem zweiten Schritt den Grenzübergang $t\to t_{0}$ durchzuführen, wobei der Differenzenquotient gegen den Differentialquotient, die Ableitung, konvergiert.

Hier geht der erste Schritt schon schief: Man kann die Differenz $\gamma '(t)-\gamma '(t_{0})$ nicht bilden, da $\gamma '(t)$ und $\gamma '(t_{0})$ nicht im selben Vektorraum liegen. Ich bin sicher, dass der Autor des Abschnitts Benutzer:Christian1985 genau das gemeint hat, deswegen meine Änderungen.

So wie es dastand ergibt es jedenfalls keinen Sinn. Zum Differenzieren braucht man eine Funktion, also ein variables t, aber nicht zwei Funktionswerte $\gamma '(t)$ und $\gamma '(t_{0})$, und den Ausdruck "miteinandner differenzieren" gibt es nicht.--Digamma (Diskussion) 19:06, 18. Mai 2012 (CEST)

Ok, ich sehe wohl, du hast ja Recht. Als Korollar wird mir dabei auch klar, dass sich der Differentialquotient nicht auf einen unendlich kleinen Abstand beziehen kann, denn dann wären die Tangentialräume ja identisch, sondern den Grenzwert des Differenzenquotienten für einen endlichen, aber beliebig kleinen Abstand darstellt. Freundliche Grüße. :o) --Cspan64 (Diskussion) 16:33, 21. Mai 2012 (CEST)

Bezeichnung für Schnitte

Von weiter oben hierher verschoben und mit Überschrift versehen

Na, dann noch einmal.

Es wäre gut, wenn Schnitte im Vektorraumbündel nicht mit Y sondern mit s wie üblich bezeichnet würden. Y ist ein Schnitt im Tangentialbündel und dort richtig und gut. Alles Andere führt zu Verwirrungen. Danke

Hoffe es ist hier richtig. Ich melde mich nicht noch einmal. Lassen wir Unsinn stehen.

Ja, auf dieser Seite ist es richtig, dazu ist die Diskussionsseite da. Allerdings sollte man neue Themen untern anfügen. Dazu gibt es oben den Reiter "Abschnitt einfügen".

Zu deiner Frage: Was üblich ist, hängt sehr oft vom verwendeten Lehrbuch ab. Ich habe die im Artikel angegebene Literatur leider nicht zur Hand, kann es also leider nicht nachprüfen. --Digamma (Diskussion) 16:19, 24. Apr. 2015 (CEST)

Ergänzung: Ich habe es jetzt geändert. Danke für deine Anregung. --Digamma (Diskussion) 16:30, 24. Apr. 2015 (CEST)

Danke für die Änderung! :) (nicht signierter Beitrag von 217.191.41.110 (Diskussion) 17:08, 6. Mai 2015 (CEST))