Zusammenhang (Differentialgeometrie)

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Im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie ist ein Zusammenhang ein Hilfsmittel, um Richtungsänderungen im Laufe einer Bewegung zu quantifizieren und Richtungen in verschiedenen Punkten miteinander in Beziehung zu setzen.

Dieser Artikel behandelt im Wesentlichen den Zusammenhang auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit beziehungsweise auf einem Vektorbündel. Ein ausgezeichneter Zusammenhang auf einem Tensorbündel, einem besonderen Vektorbündel, heißt kovariante Ableitung. Allgemeiner existieren auch Zusammenhänge auf Prinzipalbündeln mit analogen definierenden Eigenschaften.

Motivation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Differentialgeometrie interessiert man sich für die Krümmung von Kurven, insbesondere von Geodäten. In euklidischen Räumen ist die Krümmung einfach durch die zweite Ableitung gegeben. Auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ist die zweite Ableitung nicht direkt zu bilden. Ist eine Kurve, so muss man für die zweite Ableitung dieser Kurve den Differenzenquotienten mit den Vektoren und bilden. Diese Vektoren befinden sich jedoch in unterschiedlichen Vektorräumen, daher kann man nicht einfach die Differenz der beiden bilden. Um das Problem zu lösen, hat man eine Abbildung definiert, welche man Zusammenhang nennt. Diese Abbildung soll einen Zusammenhang zwischen den beteiligten Vektorräumen bereitstellen und trägt daher auch diesen Namen.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diesem Abschnitt bezeichnet eine glatte Mannigfaltigkeit, das Tangentialbündel und ein Vektorbündel. Mit wird die Menge der glatten Schnitte im Vektorbündel notiert.

Zusammenhang[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Indem man sagt, was die Richtungsableitung eines Vektorfeldes in Richtung eines Tangentialvektors ist, erhält man einen Zusammenhang auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit . Demgemäß definiert man einen Zusammenhang auf einem Vektorbündel als eine Abbildung

die einem Vektorfeld auf und einem Schnitt im Vektorbündel wieder einen Schnitt in zuordnet, so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  • ist in linear über , das heißt
für und
  • ist -linear in das heißt, es gilt
für .
  • Außerdem gilt die Produktregel beziehungsweise Leibnizregel
für jede Funktion .
Hier bezeichnet die Richtungsableitung der Funktion in Richtung (Tangentialvektoren werden also als Derivationen aufgefasst). Eine andere Schreibweise dafür ist .

Alternativ kann man den Zusammenhang auch als Abbildung

mit den gleichen Eigenschaften definieren.

Linearer Zusammenhang[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein linearer oder affiner Zusammenhang auf ist ein Zusammenhang auf . Das heißt es ist eine Abbildung

welche die drei definierenden Eigenschaften aus dem obigen Abschnitt erfüllt.

Induzierte Zusammenhänge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten auf anderen Vektorbündeln auf natürliche Weise Zusammenhänge zu induzieren.

Zusammenhang auf einer reellen Untermannigfaltigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei die Standardbasis von , dann wird auf der euklidische Zusammenhang durch definiert, wobei und Darstellungen der Vektorfelder bzgl. der Standardbasis sind. Ist eine Untermannigfaltigkeit von , so erhält man auf einen von induzierten Zusammenhang. Dieser ist durch

bestimmt. Dabei bezeichnet die orthogonale Projektion.

Zusammenhänge auf dem Tensorbündel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein linearer Zusammenhang auf der Mannigfaltigkeit . Auf dem Tensorbündel lässt sich ein eindeutiger Zusammenhang induzieren, welcher ebenfalls mit notiert wird und die folgenden Eigenschaften erfüllt:

  1. Auf stimmt mit dem gegebenen Zusammenhang überein.
  2. Auf ist die gewöhnliche Richtungsableitung von Funktionen:
  3. Für gilt die folgende Produktregel
  4. Der Zusammenhang kommutiert mit der Tensorverjüngung , das heißt

Dieser Zusammenhang auf wird auch kovariante Ableitung genannt.

Kompatibilität mit der riemannschen Metrik und Symmetrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine riemannsche oder pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit. Einen Zusammenhang nennt man kompatibel mit der Metrik dieser Mannigfaltigkeit, falls

gilt. Mit der 3. Eigenschaft aus dem Abschnitt Zusammenhänge auf dem Tensorbündel erhält man die Gleichung

und daher ist die Kompatibilitätsbedingung äquivalent zu

Ein Zusammenhang heißt symmetrisch oder torsionsfrei, wenn der Torsionstensor verschwindet, das heißt es gilt

Diese beiden Eigenschaften erscheinen natürlich, da sie von einem induzierten Zusammenhang auf einer reellen Untermannigfaltigkeit bereits erfüllt werden. Ein Zusammenhang auf einer (abstrakten) Mannigfaltigkeit, welcher diese beiden Eigenschaften erfüllt, ist eindeutig bestimmt. Diese Aussage wird Hauptsatz der riemannschen Geometrie genannt und der eindeutig bestimmte Zusammenhang heißt Levi-Civita- oder riemannscher Zusammenhang. Ein Zusammenhang, welcher mit der riemannschen Metrik kompatibel ist, heißt metrischer Zusammenhang. Eine riemannsche Mannigfaltigkeit kann im Allgemeinen mehrere verschiedene metrische Zusammenhänge haben.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sei und seien zwei Vektorfelder auf , so dass in einer Umgebung von gilt. Dann folgt für alle Vektorfelder

Allgemeiner brauchen und nichteinmal auf einer ganzen Umgebung gleich zu sein. Genauer: Falls es eine glatte Kurve gibt (für ein geeignetes ) so, dass und und falls für alle gilt, dann folgt schon . Das bedeutet dass die beiden Vektorfelder und nur entlang einer geeigneten glatten Kurve übereinstimmen müssen.

  • Analog zur eben genannten Eigenschaft: Seien zwei Vektorfelder auf so, dass . Dann gilt für alle , dass .

Darstellung in Koordinaten: Christoffel-Symbole[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bilden die lokalen Vektorfelder in jedem Punkt eine Basis des Tangentialraums, so sind die Christoffel-Symbole definiert durch

bzw. in einsteinscher Summenkonvention.

Haben die Vektorfelder und bezüglich dieser Basis die Gestalt und , so gilt für die Komponenten von

,

wobei die Richtungsableitung der Funktion in Richtung des Vektors bezeichnet.

Wählt man als Basisvektorfelder speziell die durch eine Karte gegebenen Vektorfelder , so erhält man die Koordinatendarstellung

.

Dieses Resultat entspricht der Produktregel: Im Produkt ändern sich bei infinitesimalen Änderungen sowohl die Basisvektoren als auch die Komponentenfunktionen und es entsteht die Summe beider Änderungen.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die zentralen Begriffe dieses Artikels betreffen in der Physik u. a. die Allgemeine Relativitätstheorie und die Eichtheorien (z. B. Quantenelektrodynamik, Quantenchromodynamik und Yang-Mills-Theorie) der Hochenergiephysik, sowie in der Festkörperphysik die BCS-Theorie der Supraleitung. Das Gemeinsame an diesen Theorien ist, dass „Zusammenhang“ und „kovariante Ableitung“ durch Vektorpotentiale generiert werden, die gewissen Eichbedingungen genügen, und dass sie explizit in bestimmter Weise in die Energiefunktion des Systems eingehen.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • John M. Lee: Riemannian manifolds. An introduction to curvature (= Graduate texts in mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Manifold Atlas