Distributionelle Lösung

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Eine distributionelle Lösung oder Lösung im distributionellen Sinn ist eine Distribution, die für partielle Differentialgleichungen eine gleiche Eigenschaft wie die durch eine klassische Lösung erzeugte reguläre Distribution hat. Sie verallgemeinert klassische Lösungen in dem Sinne, dass für jede klassische Lösung einer PDGL die zu gehörige Distribution eine distributionelle Lösung ist.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Distribution, und ein linearer partieller Differentialoperator. heißt distributionelle Lösung der partiellen Differentialgleichung genau dann, wenn:

Dabei wird in dieser Gleichung als ein linearer partieller Differentialoperator auf Distributionen aufgefasst.

Ist eine distributionelle Lösung von , und gibt es eine lokal integrierbare Funktion , sodass (d. h. ist eine reguläre Distribution, die von erzeugt wird), so nennt man manchmal auch die Funktion (statt ) eine distributionelle Lösung.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Distributionelle Lösung aus klassischer Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine klassische Lösung von

,

so ist die durch erzeugte reguläre Distribution immer eine distributionelle Lösung.

Klassische Lösung aus distributioneller Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei , d. h. ist eine greensche Funktion für . Wenn -mal stetig differenzierbar und -mal stetig differenzierbar ist, und wenn dann , wobei die Höhe der höchsten Ableitung ist, welche in vorkommt, so ist

eine klassische Lösung von

.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).
  • Werner: Funktionalanalysis, Kapitel über lokalkonvexe Räume