Differentialoperator

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Ein Differentialoperator ist in der Mathematik eine Funktion, die einer Funktion eine Funktion zuordnet und die Ableitung nach einer oder mehreren Variablen enthält. Insbesondere verschlechtern Differentialoperatoren die Regularität der Funktion, auf die sie angewendet werden.

Der wohl wichtigste Differentialoperator ist die gewöhnliche Ableitung, d. h. die Abbildung (gesprochen: „d nach dx“), die einer differenzierbaren Funktion ihre Ableitung zuordnet:

Differentialoperatoren lassen sich miteinander verknüpfen. Durch Weglassen der Funktion, auf die sie wirken, erhält man reine Operatorgleichungen.

Es gibt unterschiedliche Definitionen eines Differentialoperators, die alle Spezialfälle oder Verallgemeinerungen voneinander sind. Da die allgemeinste Formulierung entsprechend schwer verständlich ist, werden hier unterschiedliche Definitionen mit unterschiedlicher Allgemeingültigkeit gegeben. So bestehen gewöhnliche Differentialoperatoren aus der Verkettung von ganzen Ableitungen, während in partiellen Differentialoperatoren auch partielle Ableitungen auftauchen.

Soweit nicht anders angegeben, sei in diesem Artikel eine beschränkte und offene Menge. Außerdem wird mit die Menge der -mal stetig differenzierbaren Funktionen und mit die Menge der stetigen Funktionen bezeichnet. Die Beschränkung, dass zwischen reellen Teilmengen abbildet, ist nicht notwendig, wird aber in diesem Artikel meist vorausgesetzt. Sind andere Definitions- und Bildbereiche notwendig oder sinnvoll, so wird dies im Folgenden explizit angegeben.

Dieser Artikel beschränkt sich außerdem weitestgehend auf Differentialoperatoren, die auf den gerade erwähnten Räumen der stetig differenzierbaren Funktionen operieren. Es gibt Abschwächungen der Definitionen. So führte beispielsweise das Studium der Differentialoperatoren zur Definition der schwachen Ableitung und damit zu den Sobolev-Räumen, die eine Verallgemeinerung der Räume der stetig-differenzierbaren Funktionen sind. Dies führte weiter zu dem Gedanken, lineare Differentialoperatoren mit Hilfe der Funktionalanalysis in der Operatortheorie zu untersuchen. Auf diese Aspekte wird jedoch vorerst in diesem Artikel nicht weiter eingegangen. Eine Verallgemeinerung eines Differentialoperators ist der Pseudo-Differentialoperator.

Linearer Differentialoperator erster Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine offene Teilmenge. Ein linearer Differentialoperator erster Ordnung ist eine Abbildung

die durch

dargestellt werden kann, wobei eine stetige Funktion ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Das wichtigste Beispiel eines Differentialoperators erster Ordnung ist die gewöhnliche Ableitung
in -Richtung ist ein partieller Differentialoperator erster Ordnung.
  • Andere Differentialoperatoren dieser Gattung erhält man durch Multiplikation mit einer stetigen Funktion. Sei dazu eben so eine stetige Funktion, dann ist der durch
definierte Operator ebenfalls wieder ein Differentialoperator erster Ordnung.
hat.
und
sind zwei weitere Beispiele für Differentialoperatoren. Das besondere in diesen Operatoren ist, dass man mit ihnen Funktionen auf Holomorphie untersucht, gilt nämlich so ist die Funktion holomorph.

Gewöhnlicher Differentialoperator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gewöhnliche Differentialoperatoren treten insbesondere im Zusammenhang mit gewöhnlichen Differentialgleichungen auf.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Analog zur Definition des Differentialoperators erster Ordnung ist ein gewöhnlicher Differentialoperator der Ordnung eine Abbildung

die durch

gegeben ist. Hier ist für alle wieder eine stetige Funktion. Im Fall für alle nennt man diesen Operator einen gewöhnlichen, linearen Differentialoperator.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Ableitung -ter Ordnung
ist der einfachste Fall eines gewöhnlichen Differentialoperators. Setzt man , für und , so ergibt sich dies aus der Definition.

Linearer partieller Differentialoperator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine offene Teilmenge. Ein linearer partieller Differentialoperator der Ordnung ist ein linearer Operator

der durch

dargestellt werden kann. Wobei für alle Multiindizes eine stetige Funktion ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dies ist ein elementares Beispiel eines partiellen Differentialoperators. Außerdem ist diese das wichtigste Beispiel eines elliptischen Differentialoperators. Elliptische Differentialoperatoren sind eine besondere Klasse partieller Differentialoperatoren.
Dies ist ein Beispiel eines parabolischen Differentialoperators.
wobei einer Geschwindigkeit entspricht, ist ein weiterer wichtiger partieller Differentialoperator. Dieser ist ein hyperbolischer Operator und wird bei der Wellengleichung verwendet.

Partieller Differentialoperator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein (nicht linearer) partieller Differentialoperator der Ordnung ist ebenfalls wieder eine Abbildung

Diese ist gegeben durch

Hier sind für alle und stetige Funktionen.

Lineare Differentialoperatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In den obigen Definitionen wurde schon kurz erwähnt, wann ein gewöhnlicher beziehungsweise ein partieller Differentialoperator linear genannt wird. Der Vollständigkeit halber wird nun die abstrakte Definition eines linearen Differentialoperators genannt. Diese ist analog zur Definition der linearen Abbildung. Alle oben angeführten Beispiele, soweit nichts anderes dabei steht, sind lineare Differentialoperatoren.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein (beliebiger) Differentialoperator. Dieser heißt linear, falls

für alle Funktionen und alle Konstanten gilt.

Prominentestes Beispiel hierfür ist der Differentialoperator

der einer Funktion f ihre Ableitung zuordnet.

Der Lösungsraum einer linearen Differentialgleichung bildet einen Vektorraum. Nach Fouriertransformation lassen sie sich häufig auf algebraische Gleichungen und Konzepte der linearen Algebra zurückführen. Nichtlineare Differentialoperatoren sind wesentlich schwieriger zu behandeln.

Algebra der Differentialoperatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit wird die Menge aller linearen Differentialoperatoren der Ordnung k bezeichnet, die auf operieren. Die Menge

wird zusammen mit der Hintereinanderschaltung von linearen Differentialoperatoren als Multiplikation

zu einer -graduierten Algebra. Die Multiplikation ist aber im Allgemeinen nicht kommutativ. Eine Ausnahme sind beispielsweise Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten, bei denen die Kommutativität aus der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen folgt.

Man kann auch formal Potenzreihen mit den Differentialoperatoren bilden und darüber z. B. Exponentialfunktionen . Für das Rechnen mit solchen Exponentialausdrücken von linearen Operatoren gelten die Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln.

Differentialoperator auf einer Mannigfaltigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da man auf Mannigfaltigkeiten nur die lokalen Koordinatensysteme in Form von Karten und keine global gültigen Koordinatensysteme zur Verfügung hat, muss man auf diesen Differentialoperatoren koordinatenunabhängig definieren. Solche Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten werden auch geometrische Differentialoperatoren genannt.

Koordinaten-invariante Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine glatte Mannigfaltigkeit und seien Vektorbündel. Ein Differentialoperator der Ordnung zwischen den Schnitten von und ist eine lineare Abbildung

mit den folgenden Eigenschaften:

  • Der Operator ist lokal, das heißt, es gilt
  • Für existieren eine offene Umgebung von , Bündelkarten und sowie ein Differentialoperator sodass das Diagramm

    kommutiert. Mit ist der Pullback eines glatten Vektorfeldes in den Raum bezeichnet.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden werden Beispiele von geometrischen Differentialoperatoren aufgezeigt.

  • Die Menge der Differentialformen bildet ein glattes Vektorbündel über einer glatten Mannigfaltigkeit. Die Cartan-Ableitung und ihr adjungierter Operator sind Differentialoperatoren auf diesem Vektorbündel.
  • Der Laplace-Beltrami-Operator sowie andere verallgemeinerte Laplace-Operatoren sind Differentialoperatoren.
  • Das Tensorbündel ist ein Vektorbündel. Für jedes fest gewählte Vektorfeld ist die Abbildung definiert durch , wobei die kovariante Ableitung ist, ein Differentialoperator.
  • Die Lie-Ableitung ist ein Differentialoperator auf den Differentialformen.

Symbol eines Differentialoperators[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die in den Beispielen angegebenen Differentialoperatoren 2. Ordnung entsprechen, wenn man die partiellen Ableitungen formal durch Variablen ersetzt und nur die Terme höchster – also zweiter – Ordnung betrachtet, einer quadratischen Form in den . Im elliptischen Fall haben alle Koeffizienten der Form ein Vorzeichen, im hyperbolischen Fall wechselt das Vorzeichen, im parabolischen Fall fehlt für eines der der Term höchster Ordnung. Die entsprechenden partiellen Differentialgleichungen zeigen jeweils sehr unterschiedliches Verhalten. Die Namen kommen von den Analoga zu Kegelschnittgleichungen.

Das lässt sich durch den Begriff des Hauptsymbols des Differentialoperators auch auf andere Fälle erweitern. Man behält nur Terme der höchsten Ordnung bei, ersetzt Ableitungen durch neue Variable und erhält ein Polynom in diesen neuen Variablen, mit dem man den Differentialoperator charakterisieren kann. Beispielsweise ist er vom elliptischen Typ, wenn gilt: das Hauptsymbol ist ungleich Null, wenn mindestens ein ungleich Null ist. Es gibt aber schon bei Differentialoperatoren 2. Ordnung „gemischte“ Fälle, die keiner der drei Klassen zuzuordnen sind.

Die folgenden Definitionen halten dies nochmal in mathematischer Präzision fest.

Symbol[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei

ein allgemeiner Differentialoperator der Ordnung . Die Koeffizientenfunktion kann matrixwertig sein. Das Polynom

in heißt das Symbol von . Da jedoch wie in der Einleitung schon angedeutet, die wichtigsten Informationen im Term der höchsten Ordnung zu finden sind, wird meist mit der folgenden Definition des Hauptsymbols gearbeitet.

Hauptsymbol[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei wieder der oben definierte Differentialoperator der Ordnung . Das homogene Polynom

in heißt Hauptsymbol von . Oft nennt man das Hauptsymbol auch einfach nur Symbol, wenn Verwechslungen mit der oben gegebenen Definition ausgeschlossen sind.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Das Symbol und das Hauptsymbol des Laplace-Operators lauten

Hauptsymbol eines Differentialoperators zwischen Vektorbündeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten kann man auch ein Symbol und ein Hauptsymbol zuordnen. Dabei muss in der Definition natürlich berücksichtigt werden, dass das Hauptsymbol und das Symbol unter Kartenwechsel invariant definiert ist. Da der Kartenwechsel bei Symbolen sehr kompliziert ist, beschränkt man sich meist auf die Definition des Hauptsymbols.

Sei ein (koordinaten-invarianter) Differentialoperator, der zwischen Schnitten von Vektorbündeln operiert. Sei , und . Wähle und mit , und . Dann ist der Ausdruck

unabhängig von der Wahl von und . Die Funktion

heißt dann das Hauptsymbol von .

Pseudo-Differentialoperatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Pseudo-Differentialoperator

Die Ordnung eines Differentialoperators ist immer ganzzahlig und positiv. In der Theorie der Pseudo-Differentialoperatoren wird dies verallgemeinert. Lineare Differentialoperatoren der Ordnung mit glatten und beschränkten Koeffizienten können als Pseudo-Differentialoperatoren der gleichen Ordnung verstanden werden. Sei ein solcher Differentialoperator, dann kann man auf die Fourier-Transformation und danach die inverse Fourier-Transformation anwenden. Das heißt, es gilt

Dies ist ein Spezialfall eines Pseudo-Differentialoperators

Hieran sieht man auch, dass gewisse Differentialoperatoren als Integraloperatoren dargestellt werden können und somit Differentialoperatoren und Integraloperatoren nicht ganz gegensätzlich sind.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]