Elementargebiet

Ein Gebiet $D\subseteq \mathbb {C}$ heißt Elementargebiet (teilweise auch Stammgebiet) genau dann, wenn jede auf $D$ holomorphe Funktion eine Stammfunktion besitzt, das heißt, auf $D$ gilt die Aussage des Integralsatzes von Cauchy.

Charakterisierung

Es gelten folgende Charakterisierungen für ein Elementargebiet $D$:

• $D$ ist einfach zusammenhängend, das heißt, jede geschlossene Kurve in $D$ ist nullhomotop, das heißt, auf den Anfangspunkt stetig zusammenziehbar. Anschaulich bedeutet dies, dass $D$ keine Löcher hat.
• $D$ ist homolog einfach zusammenhängend, das heißt, jeder Zyklus in $D$ ist nullhomolog, das heißt, das Innere des Zyklus liegt vollständig in $D$.
• $D$ ist konform äquivalent zu ganz $\mathbb {C}$ oder zur Einheitskreisscheibe $\mathbb {E}$, das heißt, es existiert eine biholomorphe Abbildung von $D$ zu $\mathbb {C}$ oder zu $\mathbb {E}$, vergleiche: riemannscher Abbildungssatz.

Eigenschaften

• Sind $A$ und $B$ Elementargebiete, deren Schnitt zusammenhängend und nicht leer ist, so ist auch $A\cup B$ ein Elementargebiet.
• Ist $(A_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ eine Folge von Elementargebieten, für die $A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset \ldots$ gilt, so ist auch $\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}$ ein Elementargebiet.

Aus Kreisscheiben lassen sich mittels dieser beiden Operationen alle Elementargebiete erzeugen.

Beispiel

Folgende Gebiete sind Elementargebiete:

• $\mathbb {C}$ und $\mathbb {E}$
• jedes Sterngebiet
• die geschlitzte Ebene $\mathbb {C} \setminus \{z\in \mathbb {R} :z\leq 0\}$

Folgendes Gebiet ist kein Elementargebiet:

• $\mathbb {C} \setminus \{0\}$

Literatur

• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4