Cauchyscher Integralsatz

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Der cauchysche Integralsatz (nach Augustin Louis Cauchy) ist einer der wichtigsten Sätze der Funktionentheorie. Er handelt von Kurvenintegralen für holomorphe (auf einer offenen Menge komplex-differenzierbare) Funktionen. Im Kern besagt er, dass zwei dieselben Punkte verbindende Wege das gleiche Wegintegral besitzen, falls die Funktion überall zwischen den zwei Wegen holomorph ist. Der Satz gewinnt seine Bedeutung unter anderem daraus, dass man ihn zum Beweis der cauchyschen Integralformel und des Residuensatzes benutzt.

Die erste Formulierung des Satzes stammt von 1814, als Cauchy ihn für rechteckige Gebiete bewies. Dies verallgemeinerte er in den nächsten Jahren, allerdings setzte er dabei den jordanschen Kurvensatz als selbstverständlich voraus. Moderne Beweise kommen durch das Lemma von Goursat ohne diese tiefgreifende Aussage aus der Topologie aus.

Der Satz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Integralsatz wurde in zahlreichen Versionen formuliert.

Cauchyscher Integralsatz für Elementargebiete[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Elementargebiet, also ein Gebiet, auf dem jede holomorphe Funktion eine Stammfunktion besitzt. Sterngebiete sind beispielsweise Elementargebiete. Der cauchysche Integralsatz besagt nun, dass

für jede geschlossene Kurve (wobei und ). Für das Integralzeichen mit Kreis siehe Notation für Kurvenintegrale von geschlossenen Kurven.

Ist kein Elementargebiet, so ist die Aussage falsch. Zum Beispiel ist auf dem Gebiet holomorph, dennoch verschwindet nicht über jede geschlossene Kurve. Beispielsweise gilt

für die einfach durchlaufene Randkurve einer Kreisscheibe um mit positivem Radius .

Cauchyscher Integralsatz (Homotopie-Version)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist offen und sind zwei zueinander homotope Kurven in D, dann ist

für jede holomorphe Funktion .

Ist ein einfach zusammenhängendes Gebiet, dann verschwindet das Integral nach der Homotopie-Version für jede geschlossene Kurve, d.h. ist ein Elementargebiet.

Bei erneuter Betrachtung des obigen Beispiels bemerkt man, dass nicht einfach zusammenhängend ist.

Cauchyscher Integralsatz (Homologie-Version)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Gebiet und ein Zyklus in , dann verschwindet

genau dann für jede holomorphe Funktion , wenn nullhomolog in ist.

Isolierte Singularitäten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Windungszahl des Integrationsweges[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Gebiet, ein innerer Punkt und holomorph. Sei eine punktierte Umgebung, auf der holomorph ist. Sei ferner eine vollständig in verlaufende geschlossene Kurve, die genau einmal positiv orientiert umläuft, d.h. für die Windungszahl gilt (insbesondere liegt nicht auf ). Mit dem Integralsatz gilt nun

Durch Verallgemeinerung auf beliebige Windungszahlen von erhält man

Mithilfe der Definition des Residuums ergibt sich sogar

Der Residuensatz ist eine Verallgemeinerung dieser Vorgehensweise auf mehrere isolierte Singularitäten und auf Zyklen.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es wird im Folgenden das Integral mit bestimmt. Wähle als Integrationsweg einen Kreis mit Radius um , also

Ergibt eingesetzt:

Da man jede Funktion , die auf einem Kreisring um holomorph ist, in eine Laurent-Reihe entwickeln kann, , ergibt sich bei der Integration um :

Nun lässt sich obiges Ergebnis anwenden:

,

wobei der Entwicklungskoeffizient Residuum genannt wurde.

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Folgende Herleitung, die allerdings die stetige komplexe Differenzierbarkeit voraussetzt, führt das komplexe Integral auf reelle zweidimensionale Integrale zurück.

Sei mit und mit . Dann gilt für das Integral entlang der Kurve in der komplexen Ebene, bzw. für das äquivalente Linienintegral entlang der Kurve

in der reellen Ebene

Damit wurde das komplexe Kurvenintegral durch zwei reelle Kurvenintegrale ausgedrückt.

Für eine geschlossene Kurve , die ein einfach zusammenhängendes Gebiet S berandet, lässt sich der Satz von Gauß (hier wird die Stetigkeit der partiellen Ableitungen verwendet) anwenden

bzw. alternativ der Satz von Stokes

Ist die Funktion in S komplex differenzierbar, müssen dort die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

  und  

gelten, sodass die obigen Integranden (egal ob in der Gauß- oder Stokes-Version) verschwinden:

Somit ist der cauchysche Integralsatz für holomorphe Funktionen auf einfach zusammenhängenden Gebieten bewiesen.

Cauchyscher Integralsatz mit Wirtinger-Kalkül und Satz von Stokes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der cauchysche Integralsatz ergibt sich als leichte Folgerung aus dem Satz von Stokes, wenn man den Wirtinger-Kalkül zum Einsatz bringt[1]. Dabei wird zum Beweis des Integralsatzes die Berechnung des Kurvenintegrals verstanden als Integration der komplexwertigen Differentialform

über die geschlossene Kurve , die das einfach zusammenhängende und von berandete Gebiet umläuft.

Der Wirtinger-Kalkül besagt nun, dass das Differential die Darstellung

hat, woraus unmittelbar

folgt[2] .

Nun ist zunächst grundsätzlich

Weiterhin bedeutet die vorausgesetzte Holomorphiebedingung für nach dem Wirtinger-Kalkül nichts weiter als

 ,

was unmittelbar

nach sich zieht[3] .

Insgesamt ergibt sich also:

und damit schließlich mittels Satz von Stokes:

Anmerkung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es lässt sich mit Hilfe des Integrallemmas von Goursat zeigen, dass sich aus der komplexen Differenzierbarkeit allein - also ohne die zusätzliche Annahme der Stetigkeit der Ableitungen! - bereits der cauchysche Integralsatz und dann auch die Existenz aller höheren Ableitungen ergibt. Dieser Zugang zum cauchyschen Integralsatz umgeht den Satz von Stokes und ist unter didaktischen Gesichtspunkten vorzuziehen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 3: Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9, S. 143, Satz 4.7.3
  • Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, ISBN 3-528-67247-1, S. 57, Kapitel 3, Satz 1.4 (Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik 47).
  • Günter Bärwolff: Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. 2. Auflage, 1. korrigierter Nachdruck. Spektrum Akademischer Verlag, München u. a. 2009, ISBN 978-3-8274-1688-9.
  • Klaus Jänich: Einführung in die Funktionentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1980, ISBN 3-540-10032-6.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Jänich: S. 19–20.
  2. Jänich: S. 15, 20.
  3. Jänich: S. 16, 20.