Holomorphe Funktion

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Ein rechteckiges Gitter wird mit der holomorphen Funktion f in sein Abbild überführt

Holomorphie (von gr. ὅλος holos, „ganz“ und μορφή morphe, „Form“) ist eine Eigenschaft von bestimmten komplexwertigen Funktionen, die in der Funktionentheorie (einem Teilgebiet der Mathematik) behandelt werden. Eine Funktion für eine offene Menge heißt holomorph, falls sie in jedem Punkt aus komplex differenzierbar ist. Insbesondere in älterer Literatur werden solche Funktionen auch regulär genannt.

Auch wenn die Definition analog zur reellen Differenzierbarkeit ist, zeigt sich in der Funktionentheorie, dass die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft ist. Sie produziert nämlich eine Vielzahl von Phänomenen, die im Reellen kein Pendant besitzen. Beispielsweise ist eine holomorphe Funktion stets unendlich oft (stetig) differenzierbar und lässt sich lokal in jedem Punkt in eine Potenzreihe entwickeln.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion heißt komplex differenzierbar im Punkt , falls der Grenzwert

mit existiert. In diesem Fall bezeichnet man diesen Grenzwert als .

Die Funktion heißt holomorph im Punkt , falls eine Umgebung von existiert, in der komplex differenzierbar ist. Ist auf ganz holomorph, so nennt man holomorph. Ist weiter , so nennt man eine ganze Funktion.

Erläuterungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ist in natürlicher Weise ein zweidimensionaler reeller Vektorraum mit der kanonischen Basis und so kann man eine Funktion auf einer offenen Menge auch auf ihre totale Differenzierbarkeit im Sinne der mehrdimensionalen reellen Analysis untersuchen. Bekanntlich heißt (total) differenzierbar in , falls eine -lineare Abbildung existiert, so dass

gilt, wobei eine Funktion mit

ist. Nun sieht man, dass die Funktion genau dann in komplex differenzierbar ist, wenn sie dort total differenzierbar ist und sogar -linear ist. Letzteres ist eine starke Bedingung. Sie bedeutet, dass die Darstellungsmatrix von bezüglich der kanonischen Basis die Form

hat.

Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zerlegt man nun eine Funktion in ihren Real- und Imaginärteil mit reellen Funktionen , so hat die totale Ableitung als Darstellungsmatrix die Jacobi-Matrix

Folglich ist die Funktion genau dann komplex differenzierbar, wenn sie reell differenzierbar ist und für die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

und

erfüllt sind.

Äquivalente Eigenschaften holomorpher Funktionen einer Variablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einer Umgebung einer komplexen Zahl sind folgende Eigenschaften komplexer Funktionen gleichwertig:

  1. Eine Funktion ist einmal komplex differenzierbar.
  2. Eine Funktion ist beliebig oft komplex differenzierbar.
  3. Real- und Imaginärteil erfüllen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar.
  4. Die Funktion lässt sich in eine komplexe Potenzreihe entwickeln.
  5. Die Funktion ist stetig und das Wegintegral der Funktion über einen beliebigen geschlossenen zusammenziehbaren Weg verschwindet.
  6. Die Funktionswerte im Inneren einer Kreisscheibe lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der cauchyschen Integralformel ermitteln.
  7. f ist (reell) differenzierbar und es gilt

    wobei der Cauchy-Riemann-Operator ist, der durch definiert ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ganze Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ganze Funktionen sind auf ganz holomorph. Beispiele dafür sind:

  • jedes Polynom mit Koeffizienten

Holomorphe, nicht ganze Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Gebrochen rationale Funktionen sind holomorph außer an den Nullstellen ihres Nennerpolynoms. Dort besitzen sie isolierte Polstellen und sind damit auch Beispiele für meromorphe Funktionen.
  • Die Logarithmusfunktion lässt sich in allen Punkten aus in eine Potenzreihe entwickeln und ist somit auf der Menge holomorph.

Nirgends holomorphe Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Folgende Funktionen sind in keinem komplex differenzierbar und damit auch nirgendwo holomorph:

  • die Betragsfunktion
  • die Projektionen auf den Realteil beziehungsweise auf den Imaginärteil
  • die komplexe Konjugation

Die Funktion ist nur an der Stelle komplex differenzierbar, aber dort nicht holomorph, da sie nicht auf einer ganzen Umgebung von komplex differenzierbar ist.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind komplex differenzierbar in , so auch , und . Ist , so ist auch in komplex differenzierbar. Es gelten ferner Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel.

Es folgt eine Auflistung fundamentaler Eigenschaften holomorpher Funktionen, die allesamt kein Pendant in der reellen Theorie besitzen. In der Folge sei ein Gebiet und holomorph.

Cauchyscher Integralsatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Cauchyscher Integralsatz

Ist einfach zusammenhängend und ein Zyklus in , so gilt der cauchysche Integralsatz

Der Satz gilt also insbesondere dann, wenn ein Sterngebiet und ein geschlossener Weg ist.

Cauchysche Integralformel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Cauchysche Integralformel

Sei die offene Kreisscheibe mit Radius um den Punkt . Liegt der Abschluss von noch ganz in , so gilt für alle und die cauchysche Integralformel

Der Funktionswert eines Punktes in einem Gebiet hängt also nur von den Funktionswerten am Rand dieses Gebietes ab.

Holomorphie und Analytizität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Folgerung aus der cauchyschen Integralformel ist, dass in der komplexen Ebene der Begriff der Analytizität äquivalent zur Holomorphie ist: Jede in holomorphe Funktion ist in analytisch. Umgekehrt lässt sich jede in analytische Funktion zu einer in holomorphen Funktion fortsetzen.

Da Potenzreihen unendlich oft komplex differenzierbar sind (und zwar durch gliedweise Differentiation), erhält man insbesondere, dass holomorphe Funktionen unendlich oft differenzierbar und alle ihre Ableitungen wiederum holomorphe Funktionen sind. Hieran erkennt man schon deutliche Unterschiede zur reellen Differentialrechnung.

Identitätssatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es zeigt sich, dass eine holomorphe Funktion schon durch sehr wenig Information eindeutig bestimmt ist. Der Identitätssatz besagt, dass zwei holomorphe Funktionen auf einem Gebiet bereits dann auf identisch sind, wenn sie auf einer geeigneten Teilmenge übereinstimmen. Dabei muss die Übereinstimmungsmenge noch nicht einmal ein kontinuierlicher Weg sein, es reicht aus, dass einen Häufungspunkt in besitzt. Diskrete Teilmengen reichen hierfür hingegen nicht aus.

Weiteres[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist ein Gebiet und nicht konstant, dann ist wieder ein Gebiet. (Satz von der Gebietstreue)
  • Konvergiert eine Folge holomorpher Funktionen kompakt auf gegen die Grenzfunktion , so ist wieder holomorph, und man kann Limesbildung und Differentiation vertauschen, das heißt, die Folge konvergiert kompakt gegen . (Satz von Weierstraß).
  • Ist die Folge holomorpher Funktionen auf lokal beschränkt, so existiert eine kompakt konvergente Teilfolge. (Satz von Montel)
  • Jede auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet zweimal stetig differenzierbare harmonische Funktion ist Realteil einer komplex differenzierbaren Funktion : . Die reelle Funktion erfüllt ebenfalls . Sie wird als konjugiert harmonisch zu bezeichnet und als komplexes Potential.

Biholomorphe Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Biholomorphe Funktion

Eine Funktion, die holomorph, bijektiv und deren Umkehrfunktion holomorph ist, nennt man biholomorph. Im Fall einer komplexen Veränderlichen ist das äquivalent dazu, dass die Abbildung bijektiv und konform ist. Aus dem Satz über implizite Funktionen folgt für holomorphe Funktionen einer Veränderlicher schon, dass eine bijektive, holomorphe Funktion stets eine holomorphe Umkehrabbildung besitzt. Im nächsten Abschnitt werden holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher eingeführt. In diesem Fall garantiert der Satz von Osgood diese Eigenschaft. Somit kann man sagen, dass bijektive, holomorphe Abbildung biholomorph sind.

Aus Sicht der Kategorientheorie ist eine biholomorphe Abbildung ein Isomorphismus.

Holomorphie mehrerer Veränderlicher[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im n-dimensionalen komplexen Raum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine komplexe offene Teilmenge. Eine Abbildung heißt holomorph, falls in jeder Teilfunktion und jeder Variablen holomorph ist. Mit dem Wirtinger-Kalkül und steht ein Kalkül zur Verfügung mit dem man die partiellen Ableitungen einer komplexen Funktion einfacher verwalten kann. Jedoch haben holomorphe Funktionen mehrerer Veränderliche nicht mehr so viele schöne Eigenschaften.

So gilt für Funktionen der cauchysche Integralsatz nicht und der Identitätssatz ist nur noch in einer abgeschwächten Version gültig. Für diese Funktionen kann allerdings die Integralformel von Cauchy durch Induktion auf n Dimensionen verallgemeinert werden. Im Jahr 1944 konnte Salomon Bochner sogar noch eine Verallgemeinerung der -dimensionalen cauchyschen Integralformel beweisen. Diese trägt den Namen Bochner-Martinelli-Formel.

In der komplexen Geometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auch in der komplexen Geometrie werden holomorphe Abbildungen betrachtet. So kann man holomorphe Abbildungen zwischen riemannschen Flächen beziehungsweise zwischen komplexen Mannigfaltigkeiten analog zu differenzierbaren Funktionen zwischen glatten Mannigfaltigkeiten definieren. Außerdem gibt es ein für die Integrationstheorie wichtiges Pendant zu den glatten Differentialformen, die holomorphe Differentialformen heißen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Standardwerke[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einführungen

  • Klaus Jänich: (Die ersten beiden Auflagen unterscheiden sich deutlich von den folgenden. Unter anderem fehlen ab der dritten Auflage die vier „Stern“-Kapitel zu Wirtinger-Kalkül, riemannschen Flächen, riemannschen Flächen eines holomorphen Keimes und algebraischen Funktionen.)
  • Einführung in die Funktionentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1980, ISBN 3-540-10032-6.
  • Funktionentheorie – Eine Einführung. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2004, ISBN 3-540-20392-3.
  • Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie – Komplexe Analysis in einer Veränderlichen. 8. Auflage. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-77247-6.

Ausführliche Darstellungen der Funktionentheorie

  • Eberhard Freitag: Funktionentheorie 2. Riemann'sche Flächen; Mehrere komplexe Variable; Abel'sche Funktionen; Höhere Modulformen. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-87899-5.
  • Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. 3. Auflage. Springer, Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-40432-3.