Ende (Kategorientheorie)

Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist ein Ende ein spezieller Limes.

Definition

Es seien ${\mathcal {C}};{\mathcal {D}}$ Kategorien, ${\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }$ die zu ${\mathcal {C}}$ duale Kategorie und schließlich $F\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ ein Funktor.

Ein Ende von $F$ ist ein Paar $(E;\pi )$, bestehend aus einem Objekt $E\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {D}})$ und einer $\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$-indizierten Familie von Pfeilen $\pi _{X}\colon E\to F(X,X)$, Projektionen genannt, derart, dass für alle Objekte $X,Y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$ und Morphismen $h\in {\mathcal {C}}(X,Y)$ das Diagramm

${\begin{array}{ccc}\quad E&\xrightarrow {\quad \pi _{X}\quad } &\!F(X,X)\\\scriptstyle \pi _{Y}{\Big \downarrow }&&\quad {\Big \downarrow }\scriptstyle F(X,h)\\F(Y,Y)&{\xrightarrow[{F(h,Y)}]{}}&F(X,Y)\end{array}}$

kommutiert. (Kurz: $\pi$ ist eine dinatürliche Transformation $\Delta E\to F$.)

Ein Ende ist zudem universell, das heißt für jedes alternative $E'$ mit entsprechenden Projektionen $\pi '_{X}\colon E'\to F(X,X)$ gibt es einen eindeutig bestimmten Pfeil $k\colon E'\to E$, sodass $\pi _{X}\circ k=\pi '_{X}$ für alle $X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$ gilt.

Notation

Eine gebräuchliche Schreibweise für ein Ende von $F\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ ist

$E\cong \int _{X\in {\mathcal {C}}}F(X,X)$.

Beispiel

Für lokal kleine Kategorien ${\mathcal {C}},{\mathcal {D}}$ seien Funktoren $F,G\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ gegeben. Die Menge der natürlichen Transformationen von $F$ nach $G$ ist nun gerade ein Ende des Funktors $T\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\times {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set}$, der durch $T(X,Y)={\mathcal {D}}(FX,GY)$ erklärt ist, wobei ${\mathcal {D}}(-,-)$ den Hom-Funktor von ${\mathcal {D}}$ bezeichne.

Obiges Diagramm ist hier

${\begin{array}{ccc}\quad E&\xrightarrow {\quad \pi _{X}\quad } &\!{\mathcal {D}}(FX,GX)\\\scriptstyle \pi _{Y}{\Big \downarrow }&&\quad {\Big \downarrow }\scriptstyle {\mathcal {D}}(FX,Gh)\\{\mathcal {D}}(FY,GY)&{\xrightarrow[{{\mathcal {D}}(Fh,GY)}]{}}&{\mathcal {D}}(FX,GY).\end{array}}$

Die Projektionen des Endes ordnen jeder natürlichen Transformation $\psi \in E$ eine Komponente $\psi _{X}=\pi _{X}(\psi )\in {\mathcal {D}}(FX,GX)$ zu. Auf der Ebene der Elemente von $E$ sagt das Diagramm also aus, dass für Komponenten $\psi _{X}$ und $\psi _{Y}$

$Gh\circ \psi _{X}=\psi _{Y}\circ Fh$

gilt. Die Universalität stellt sicher, dass $E$ alle natürlichen Transformationen enthält.

Dieses Beispiel kann auch als eine Definition von natürlichen Transformationen interpretiert werden. Die Definition ist in dieser Form leicht auf angereicherte Kategorien und Funktoren verallgemeinerbar.

Literatur

• G. M. Kelly: Basic Concepts of Enriched Category Theory. In: Lecture Notes in Mathematics 64. Cambridge University Press, 1982 (mta.ca [abgerufen am 8. März 2014]). 

Weblinks

• end, Eintrag im nLab. (englisch)