Ende (Kategorientheorie)

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Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist ein Ende ein spezieller Limes.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien Kategorien, die zu duale Kategorie und schließlich ein Funktor.

Ein Ende von ist ein Paar , bestehend aus einem Objekt und einer -indizierten Familie von Pfeilen , Projektionen genannt, derart, dass für alle Objekte und Morphismen das Diagramm

kommutiert. (Kurz: ist eine dinatürliche Transformation .)

Ein Ende ist zudem universell, das heißt für jedes alternative mit entsprechenden Projektionen gibt es einen eindeutig bestimmten Pfeil , sodass für alle gilt.

Notation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine gebräuchliche Schreibweise für ein Ende von ist

.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für lokal kleine Kategorien seien Funktoren gegeben. Die Menge der natürlichen Transformationen von nach ist nun gerade ein Ende des Funktors , der durch erklärt ist, wobei den Hom-Funktor von bezeichne.

Obiges Diagramm ist hier

Die Projektionen des Endes ordnen jeder natürlichen Transformation eine Komponente zu. Auf der Ebene der Elemente von sagt das Diagramm also aus, dass für Komponenten und

gilt. Die Universalität stellt sicher, dass alle natürlichen Transformationen enthält.

Dieses Beispiel kann auch als eine Definition von natürlichen Transformationen interpretiert werden. Die Definition ist in dieser Form leicht auf angereicherte Kategorien und Funktoren verallgemeinerbar.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • G. M. Kelly: Basic Concepts of Enriched Category Theory. In: Lecture Notes in Mathematics 64. Cambridge University Press, 1982 (mta.ca [abgerufen am 8. März 2014]).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • end, Eintrag im nLab. (englisch)