Feynman-Parameter

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Als Feynman-Parameter werden Parameter bezeichnet, die vorübergehend in Integrale eingeführt werden, um diese zu lösen. Die Parameter werden insbesondere bei der Berechnung von Feynman-Diagrammen mit inneren Schleifen ("Loops") eingesetzt. Sowohl Richard Feynman als auch Julian Seymour Schwinger verwendeten analoge Methoden[1].

Einfaches Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Will man das Integral lösen, so stellt man fest, dass sich der Integrand auch als an der Stelle schreiben lässt. Dabei taucht plötzlich der Parameter auf, der keine "physikalische Bedeutung" hat, sondern nur zum Lösen des Integrals benötigt wird. Durch Vertauschen von Integral und Ableitung verbleibt ein einfaches Integral über die Exponentialfunktion, das einfach zu lösen ist. Die Ableitung nach ist durchführbar. Nach Ersetzen von verschwindet der Parameter wieder, und das Integral ist gelöst.

Der Elektron-Vertex[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1-Loop-Beitrag zur Vertex-Funktion des Elektrons

Bei der Lösung des 1-Loop-Beitrags zur Vertex-Funktion des Elektrons stößt man auf Integrale der Form

Obwohl , und einfache quadratische Terme des Viererimpulses sind, so lassen sich diese Integrale nicht einfach lösen. Nach Verwendung der entsprechenden Gleichung unten und linearer Substitution , erhält man anstelle des obigen Integrals

und kann die Integrale über die Feynman-Parameter dann auch lösen.

Beispiel mit nur zwei Faktoren im Nenner[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Trick bei den Faktoren im Nenner besteht darin, zwei Feynman-Parameter und einzuführen, über die anders als im obigen Beispiel auch integriert wird. Zunächst verwendet man

Die obige Gleichung lässt sich durch Substitution im Integral leicht zeigen. Mit Hilfe der Delta-Funktion formt man dies in eine symmetrische Form um:

Hier tauchen und jetzt additiv nebeneinander auf, was die Integration deutlich vereinfacht.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für mehr als zwei Faktoren gilt

Für Berechnungen im Rahmen der dimensionalen Renormierung ist eine weitere Verallgemeinerung nötig:

wobei die Exponenten komplexe Zahlen (mit positivem Realteil) sein können. Mit Hilfe der Delta-Funktion kann man dies schreiben als

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Integral mit einem Produkt im Nenner des Integranden kann wie folgt umgeformt werden:

Typischerweise hängt der Integrand dann nach weiteren Umformungen nur noch quadratisch von der Integrationsvariable ab, was einen Übergang zu (n-dimensionalen) Polarkoordinaten möglich macht.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory, Westview Press, 1995

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]