Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski

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Der Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski, benannt nach Czesław Ryll-Nardzewski, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Der Satz sichert die Existenz eines gemeinsamen Fixpunktes einer Familie gewisser Abbildungen einer kompakten, konvexen Menge in sich.

Formulierung des Satzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein lokalkonvexer Raum, zum Beispiel ein normierter Raum, und sei eine nicht-leere schwach-kompakte konvexe Menge. Weiter sei eine nicht-leere Familie von Abbildungen mit folgenden Eigenschaften:

  1. ist eine Halbgruppe, das heißt: Für alle gilt .
  2. Jedes ist schwach-stetig und affin, das heißt für und gilt .
  3. ist nicht-kontrahierend, das heißt für zwei verschiedene Punkte liegt 0 nicht im Abschluss von .

Dann gibt es mindestens einen gemeinsamen Fixpunkt von , das heißt: Es gibt ein , so dass für alle .

Bemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Zum Beweis zeigt man zunächst, dass jede endliche Teilmenge aus einen Fixpunkt hat, und schließt dann mit einem Kompaktheitsargument auf die Behauptung.
  • Die Voraussetzung, dass nicht-kontrahierend sein soll, ist automatisch erfüllt, wenn alle Elemente aus Isometrien eines normierten Raumes sind. Diesen Spezialfall nennt man ebenfalls den Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski: Jede Halbgruppe schwach-stetiger affiner Isometrien einer schwach-kompakten konvexen Menge in sich hat einen Fixpunkt.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die bekannteste Anwendung ist die Herleitung der Existenz des Haar-Maßes auf einer kompakten Gruppe . Der Raum der endlichen Borel-Maße auf ist der Dualraum des Raumes der stetigen Funktionen auf , und trägt daher die schwach-*-Topologie, die zu einem lokalkonvexen Raum macht, dessen schwache Topologie genau diese schwach-*-Topologie ist. Als konvexe Menge nimmt man . Für und seien durch die Formeln erklärt. Definiere weiter durch

Dann ist eine Halbgruppe von Isometrien, die in sich abbildet. Wendet man auf diese Situation den Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski an, so erhält man ein Maß, das leicht als Haar-Maß nachgewiesen werden kann.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • John B. Conway : A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag (1994), ISBN 0387972455
  • C. Ryll-Nardzewski: On fixed points of semigroups of endomorphisms of linear spaces, Proc. Fifth Berkeley Sympos. Math. Statist. and Probability, Univ. California Press, Berkeley (1967), Seiten 55–61