Schwache Topologie

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Dieser Artikel beschäftigt sich mit der schwachen Topologie und der Konvergenz bezüglich dieser Topologie, der schwachen Konvergenz. Für weitere Bedeutungen siehe Schwache Konvergenz (Begriffsklärung).

Die schwache Topologie ist in der Mathematik eine spezielle Topologie, die auf normierten Räumen definiert wird. Die Konvergenz bezüglich der schwachen Topologie wird dann schwache Konvergenz genannt. Die schwache Konvergenz und die schwache Topologie ist ein zentrales Konzept der Funktionalanalysis, da sich mit ihr beispielsweise allgemeinere Kriterien für die Existenz von Minima und Maxima formulieren lassen.

Definition in normierten Räumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein normierter Raum  X sowie sein topologischer Dualraum  X' , also der Vektorraum aller stetigen linearen Funktionale

 x'\colon X \to \mathbb K ,

der versehen mit der Operatornorm auch zum normierten Vektorraum wird.

Über die linearen Funktionale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Folge  (x_n)_{n \in \N} in  X heißt schwach konvergent gegen  x \in X, wenn

 \lim_{n \to \infty} x'(x_n)=x'(x) \text{ für alle } x' \in X'

gilt. Die von der schwachen Konvergenz erzeugte Topologie  \tau_s heißt dann die schwache Topologie auf  X .

Als Initialtopologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Umgekehrt lässt sich die schwache Topologie auf  X auch als Initialtopologie definieren. Die schwache Topologie ist dann die Initialtopologie auf  X bezüglich der Elemente aus  X' . Somit ist die schwache Topologie  \tau_s die gröbste Topologie auf  X , so dass alle Elemente des topologischen Dualraumes

 x': X \to \R

stetig sind. Eine bezüglich der schwachen Topologie konvergente Folge heißt dann schwach konvergent.

Eine andere Formulierung ist, dass die Urbilder offener Mengen der normstetigen linearen Funktionale eine Subbasis der schwachen Topologie bilden. Konkret bedeutet dies, dass man die offenen Mengen auf X wie folgt konstruiert:

  • Bilde alle Urbilder \phi^{-1}(O) \subseteq X für \phi \in X^\prime und O \subseteq \mathbb{R} bzw. \mathbb{C} offen,
  • bilde alle endlichen Durchschnitte der Mengen aus dem ersten Schritt,
  • bilde alle Vereinigungen (auch unendliche) der Mengen aus dem zweiten Schritt.

Dies sind alle offenen Mengen der schwachen Topologie auf X.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachtet man als normierten Raum  X den Lp-Raum  L^p mit  p \in (1, \infty) , so ist aufgrund der Dualität von Lp-Räumen ist der Dualraum  X' normisomorph zu  L^q , wobei  q der zu  p konjugierte Index ist. Es gilt also  \tfrac 1p + \tfrac 1q  = 1 .

Somit besitzt jedes stetige lineare Funktional

 x'_g: X \to \R

eine Darstellung von der Form

 x'_g(f)= \int f g \mathrm d \mu  ,

wobei  g \in L^q und  f \in L^p ist. Somit ist eine Funktionenfolge  (f_n)_{n \in \N} aus  L^p genau dann schwach konvergent gegen  f \in L^p , wenn

 \lim_{n \to \infty}\int f_n g \mathrm d \mu = \int fg \mathrm d \mu \text{ für alle } g \in L^q

gilt. Dies ist genau die Schwache Konvergenz in Lp.

Beziehung zur Normkonvergenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Normtopologie  \tau_N des vorgegebenen Raumes ist immer feiner als die schwache Topologie  \tau_S , es gilt also

 \tau_S \subset \tau_N .

Im allgemeinen ist diese Inklusion echt, das heißt alle normkonvergenten Folgen sind auch schwach Konvergent, aber es existieren auch schwach konvergente Folgen, die nicht normkonvergent sind.

Ein Beispiel hierfür lässt sich im Folgenraum  \ell^p konstruieren, wobei  p \in (1, \infty) ist. Wählt man als Folge

 e_1=(1, 0, 0, \dots), \, e_2=(0,1,0,0,\dots), \dots ,

so ist immer

 \lim_{n \to \infty} \|e_n\|_{\ell^p}=1 .

Ist aber  \Phi \in \left( \ell^p \right)', so gibt es eine Folge  (a_n)_{n \in \N} aus  \ell^q , so dass

 \Phi(x)=\sum_{i=1}^\infty a_i x_i

ist. Dabei ist  q wieder der zu  p konjugierte Index. Somit ist

 \lim_{n \to \infty}\Phi(e_n)=\lim_{n \to \infty} a_n= 0 ,

da  (a_n)_{n \in \N} eine Nullfolge ist. Somit konvergiert die Folge schwach gegen 0, aber nicht bezüglich der Norm gegen 0.

Der Satz von Mazur liefert eine eingeschränkte Umkehrung: er besagt, dass sich aus den Folgegliedern einer schwach konvergenten Folge immer durch Konvexkombinationen eine zweite Folge konstruiert werden kann, die bezüglich der Norm konvergiert.

Insbesondere ist die Norm  \| \cdot \| nicht mehr stetig bezüglich der schwachen Konvergenz, sondern nurnoch unterhalbstetig. Ist also eine Folge  (x_n)_{n \in \N} schwach konvergent in  X gegen  x , so gilt

 \| x \| \leq \liminf_{n \to \infty} \| x_n\| .

Beziehung zur schwach-*-Topologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Parallel zur schwachen Topologie lässt sich eine schwach-*-Topologie auf dem Dualraum  X definieren. Analog zur schwachen Topologie und Konvergenz lässt sich die schwach-*-Topologie und Konvergenz entweder als Initialtopologie oder über die linearen Funktionale definieren. Dazu fasst man die Elemente aus  X über

 T_x: X' \to \mathbb K

definiert durch

 T_x(x'):=x'(x)

als lineare Funktionale auf  X' auf. Dann ist die schwach-*-Topologie die gröbste Topologie auf  X' , so dass alle diese Funktionale stetig sind. Alternativ heißt eine Folge  (x'_n)_{n \in \N} schwach-*-konvergent in  X' gegen  x' , wenn

 \lim_{n \to \infty}x_n'(x)=x'(x) \text{ für alle } x \in X

gilt.

Konvergiert nun eine Folge  (x'_n)_{n \in \N} schwach in  X' , so konvergiert sie auch schwach-* in  X' . Denn konvergiert die Folge schwach, so gilt

 \lim_{n \to \infty}T(x'_n)=T(x) \text{ für alle } T \in X''

und somit auch für alle

 T_x: X' \to \mathbb K

wie sie oben definiert wurden, da es sich um Elemente des Dualraumes von  X' handelt. Somit ist

 \lim_{n \to \infty} x_n'(x)=x'(x) \text{ für alle } x \in X ,

was der schwach-*-Konvergenz in  X' entspricht.

Außerdem konvergiert eine Folge in  X genau dann schwach, wenn sie schwach-* im Bidualraum  X'' konvergiert.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die abgeschlossene Einheitskugel von X ist genau dann schwach kompakt, wenn X ein reflexiver Banachraum ist.
  • Der Raum X mit der schwachen Topologie ist ein Hausdorff-Raum.
  • Versieht man X mit der schwachen Topologie, dann bleiben Addition und Skalarmultiplikation stetige Verknüpfungen, und X ist ein lokalkonvexer Raum.
  • In lokalkonvexen topologischen Vektorräumen sind abgeschlossene und konvexe Teilmengen schwach abgeschlossen.
  • Der Satz von Eberlein–Šmulian stellt die Äquivalenz von Kompaktheit und Folgenkompaktheit bzgl. der schwachen Topologie auf Banachräumen fest.
  • Da X bezüglich der schwachen Topologie ein Hausdorffraum ist, ist der schwache Grenzwert, falls er überhaupt existiert, eindeutig.
  • Jede schwache konvergente Folge eines normierten Vektorraums ist beschränkt. Diese Eigenschaft ist eine Folgerung aus dem Satz von Banach-Steinhaus.
  • In einem reflexiven Raum besitzt jede beschränkte Folge eine schwach konvergente Teilfolge. Da jeder Hilbertraum reflexiv ist, besitzt also eine beschränkte Folge in einem Hilbertraum immer eine schwach konvergente Teilfolge.
  • In einem Hilbertraum ist die schwache Konvergenz äquivalent zur komponentenweisen Konvergenz bezüglich einer Orthogonalbasis.

Merkregel zum Begriff „schwach“ in der Funktionalanalysis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

„Schwach“ bedeutet so viel wie „bzgl. aller stetigen Linearformen …“.

Beispiele:

  • Eine Folge ist genau dann schwach konvergent, wenn sie bzgl. aller stetigen Linearformen konvergiert.
  • Eine Menge ist genau dann schwach folgenkompakt, wenn jede Folge daraus eine bzgl. aller stetigen Linearformen konvergente Teilfolge besitzt.
  • Eine Menge ist genau dann schwach beschränkt, wenn unter jeder der in Betracht gezogenen stetigen Linearformen die zugehörige Bildmenge eine beschränkte Menge innerhalb des zugrundeliegenden Körpers ist. Man beachte: Wegen des Satzes von Banach-Steinhaus ist jede schwach beschränkte Menge immer normbeschränkt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Harro Heuser: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung (= Mathematische Leitfäden). 3., durchgesehene und erweiterte Auflage. Teubner, Stuttgart 1992, ISBN 3-519-22206-X, dort
S. 348: Definition der Schwachen Topologie,
S. 331 f: Schwache Konvergenz in normierten Räumen.