Gröbnerbasis

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Eine Gröbnerbasis (nach Bruno Buchberger, 1965) bzw. Standardbasis (nach Heisuke Hironaka, 1964) ist ein endliches Erzeugendensystem zu einem Ideal im Polynomring über dem Körper , das besonders gut dafür geeignet ist, zu entscheiden, ob ein gegebenes Polynom zum Ideal gehört oder nicht.

Buchberger entwickelte Gröbnerbasen 1965 in seiner Dissertation bei Wolfgang Gröbner und benannte sie nach Gröbner.

Motivation: Idealzugehörigkeitsproblem und verallgemeinerte Polynomdivision[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Idealzugehörigkeitsproblem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei , also das Ideal von den Polynomen erzeugt, dann gehört ein Polynom genau dann zu , wenn sich als Linearkombination

mit Polynomen schreiben lässt.

Man kann nun versuchen, so eine Darstellung mit Hilfe der Polynomdivision mit Rest zu finden, indem man so lange dividiert, bis der erhaltene Rest verschwindet und damit die Division aufgeht:

Dabei treten aber zwei Probleme auf:

  1. Bei multivariaten Polynomen lassen sich die Terme nicht mehr ohne weiteres "der Größe nach" ordnen, was für die Polynomdivision aber notwendig ist.
  2. Können wir denn überhaupt sicher sein, dass durch wiederholte Polynomdivision immer der Rest 0 erscheint?

Das erste Problem lässt sich recht einfach lösen, indem eine Monomordnung gewählt wird. Dann können die Terme jedes Polynomes nach dieser Ordnung angeordnet werden; Vor allem können wir nun vom Leitterm eines Polynoms sprechen, also des bezüglich der Monomordnung größten Monoms mit seinem Koeffizienten. Als Nachteil bleibt, dass die Anordnung der Monome und auch das Ergebnis der Polynomdivisionen von der Wahl der Monomordnung abhängen.

Das zweite Problem ist schwieriger, denn es ist tatsächlich nicht lösbar, wenn die erzeugenden Polynome fest vorgegeben sind. Es kann nur gelöst werden, indem das Erzeugendensystem passend geändert wird. Eine Gröbnerbasis stellt sich als ein geeignetes Erzeugendensystem heraus.

Verallgemeinerte Polynomdivision[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Aufgabe der verallgemeinerten Polynomdivision ist nun also: Für ein Polynom und mehrere Polynome sollen Polynome gefunden werden, die die Gleichung

erfüllen.

Dazu bietet sich folgendes Vorgehen an:

  1. Beginne mit .
  2. Falls , brich ab, sonst vergleiche der Reihe nach alle , ob sie teilen.
  3. Falls etwa , so ersetze durch und durch und gehe zu Schritt 2.
  4. Falls von keinem geteilt wird, so ersetze durch und durch und gehe zu Schritt 2.

Dann ist in jedem Schritt die Gleichung

erfüllt, und schließlich, wenn , ist die gewünschte Darstellung gefunden.

Mit dieser Division haben wir das Problem wie gewünscht auf ein kleineres Polynom reduziert, denn es ist genau dann, wenn . Falls , ist das klar, und . Ist aber , können wir auf diesem Weg nicht entscheiden, ob oder :

Beispiel: Seien , und . Testet man die erzeugenden Polynome der Reihe nach (also in aufsteigender Reihenfolge der Indizes) und wendet die beschriebene Division an, erhält man:

Offenbar gilt aber , also auch (nämlich ). Man kann also im Allgemeinen aus nicht folgern, dass und damit gilt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Erzeugendensystem von ist eine Gröbnerbasis (bezüglich einer Monomordnung ) von , falls für jedes Polynom ein existiert, dessen Leitmonom das Leitmonom von teilt.

Eine Gröbnerbasis heißt reduziert, falls alle normiert sind, und kein Monom von durch die Leitterme der anderen Gröbnerbasispolynome dargestellt werden kann, also kein Monom von in liegt. Man kann zeigen, dass jedes Ideal (für eine gegebene Monomordnung) eine eindeutig bestimmte reduzierte Gröbnerbasis besitzt.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Konzept von Gröbnerbasen gibt zunächst eine Lösung des Idealzugehörigkeitsproblems. Damit verbunden lassen sich aber auch andere Probleme lösen (oder zumindest vereinfachen).

Lösung des Idealzugehörigkeitsproblems[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wird mit dem oben beschriebenen Verfahren eine nicht weiter reduzierbare Darstellung

bezüglich einer Gröbnerbasis des Ideals gefunden, so gilt genau dann, wenn . Da aber eine Gröbnerbasis ist, gilt das wiederum genau dann, wenn , da nach Annahme kein Leitmonom eines das Leitmonom von teilt.

Mit dem Buchberger-Algorithmus können Gröbnerbasen berechnet werden. Damit ist das Problem, ob ein Polynom zu einem Ideal gehört oder nicht, von Computeralgebrasystemen lösbar.

Beispiel: Wenn wie im Beispiel oben die erzeugenden Polynome gegeben sind, sowie , dann hatte die Polynomdivision Rest geliefert.

Wenden wir zunächst den Buchberger-Algorithmus auf dieses Beispiel an, so erhalten wir die (nicht reduzierte) Gröbnerbasis von . Bezüglich dieses Divisors ist die Division hier noch nicht abgeschlossen, denn es ist mit :

Wir sehen hier auch, dass die Darstellung bezüglich der Gröbnerbasis nicht eindeutig ist (da ), sondern von der Reihenfolge der erzeugenden Polynome und der gewählten Monomordnung abhängt.

Nicht-lineare Gleichungssysteme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein nicht-lineares Gleichungssystem besteht aus endlich vielen Polynomen , deren gemeinsame Nullstellen gesucht sind. Die Lösungsmenge eines solchen Gleichungssystems beschreibt eine algebraische Varietät, die aber durch die Polynome nicht eindeutig bestimmt ist, sondern durch das Ideal, welches diese Polynome erzeugen.

Soll ein bestimmtes nicht-lineares Gleichungssystem gelöst werden, genügt es also das Ideal zu betrachten, das von den Polynomen erzeugt wird. Dann kann es hilfreich sein, mit Hilfe des Buchberger-Algorithmus und einer geeigneten lexikographischen Monomordnung eine reduzierte Gröbnerbasis zu finden. Dann bleibt zwar das Problem, die Nullstellen dieser Polynome zu finden (z. B. näherungsweise durch numerische Verfahren), aber die zu untersuchenden Polynome haben immerhin eine kleinere Anzahl an Variablen und kleineren Grad.

Beispiel: Welche Lösungen hat das folgende Gleichungssystem?

Mit Hilfe des Computers erhält man für die lexikographische Monomordnung die (reduzierte) Gröbnerbasis und . Die gesuchten Lösungen sind also genau die Lösungen des einfacheren Gleichungssystems

Und wir sehen, dass die Lösungsmenge aus nur zwei Punkten besteht: (die zwei weiteren Lösungen sind in nicht enthalten).

Gleichheit von Idealen und algebraischen Varietäten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da (zu einer gegebenen Monomordnung) die reduzierte Gröbnerbasis eines Ideals eindeutig bestimmt ist, kann die Gleichheit von Idealen untersucht werden, indem (zu irgendeiner Monomordnung) die reduzierten Gröbnerbasen gebildet werden. Die Ideale sind genau dann gleich, wenn diese reduzierten Gröbnerbasen gleich sind.

Auf diese Weise kann man auch rein rechnerisch die Gleichheit von algebraischen Varietäten untersuchen, da diese durch ihre erzeugenden Ideale eindeutig bestimmt sind. Sind die reduzierten Gröbnerbasen gleich, dann sind die erzeugenden Ideale und damit auch die erzeugten Varietäten gleich.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]