Gravitationsfeld

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Dieser Artikel behandelt das Gravitationspotential der klassischen Mechanik mit dazugehörigem Feld. Für die Energie einer Masse in diesem siehe Potentielle Energie und für die Feldgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie siehe Einsteinsche Feldgleichungen.

In der klassischen Mechanik ist das Gravitationsfeld (auch Schwerkraftfeld) das Kraftfeld, das durch die Gravitation von Massen hervorgerufen wird. Die Feldstärke des Gravitationsfeldes gibt für jeden Ort den durch Gravitation verursachten Teil der Fallbeschleunigung \vec g an. Sie kann mithilfe des Newtonschen Gravitationsgesetzes aus der räumlichen Verteilung der Massen berechnet werden. Die Allgemeine Relativitätstheorie beschreibt die Gravitation nicht mehr als Kraftfeld, sondern als Krümmung der Raumzeit.

In der physikalischen Literatur findet sich gelegentlich synonym die Bezeichnung Schwerefeld.[1] Insbesondere in der Geodäsie ist das Schwerefeld jedoch die Summe von Gravitationsfeld und Zentrifugalbeschleunigung, siehe Schwerefeld.

Potential und Feld[Bearbeiten]

Gravitationspotential (rote Kurve) und -beschleunigung (blau) gegen den Abstand vom Erdmittelpunkt. Abweichend vom Schwerepotential wird das Gravitationspotential üblicherweise im Unendlichen auf null gesetzt.
Hauptartikel: Potential und Feld

Das zum Gravitationsfeld gehörende Potential heißt Gravitationspotential. Sein Wert \Phi(\vec r) am Ort \vec r lässt sich bei bekannter Massendichte \rho(\vec r) durch Lösen der Poisson-Gleichung bestimmen

\Delta \Phi(\vec r) = 4 \pi G \rho(\vec r),

wobei G die Gravitationskonstante und \Delta der Laplace-Operator ist. So beträgt das Potential um einen näherungsweise punktförmigen oder radialsymmetrischen Körper der Masse M beispielsweise

\Phi(r)=-\frac{GM}{r}(+\Phi_\infin).

Hierbei ist \Phi_\infin das Potential im Unendlichen. Es ist eine frei wählbare Integrationskonstante und wird üblicherweise willkürlich auf Null gesetzt. (Für eine ausführliche Herleitung siehe Potential (Physik)).

Multipliziert man das Potential mit der Masse eines Körpers m, so erhält man seine potentielle Energie

V(\vec r)=m \, \Phi(\vec r).

Das Gravitationsfeld \vec{g} lässt sich als Gradientenfeld des Gravitationspotentials \Phi schreiben:

\vec{g}(\vec{r}) = - \nabla \Phi(\vec{r})

Die vom Feld erzeugte Kraft \vec{F}_\mathrm{G} auf einen Körper der Masse m ist dann

\vec{F}_\mathrm{G}(\vec{r}) = m \, \vec g(\vec r) .

Feldstärke[Bearbeiten]

Hauptartikel: Feldstärke

Der Betrag des Gravitationsfeldes heißt Gravitationsfeldstärke oder Gravitationsbeschleunigung g = |\vec{g}|. Sie ist unabhängig von der Probemasse (der Masse eines Körpers im Feld). Wirken keine weiteren Kräfte, so ist \vec{g} die exakte Beschleunigung einer Probemasse im Feld.

Eine Punktmasse M verursacht wie gesagt das Potential

\Phi(\vec r) =  - \frac{G M}{r}

und daher das dazugehörige radialsymmetrische Feld mit der Feldstärke

\vec g(\vec r) = - \frac{G M}{r^2} \hat{e}_r

In Abständen, die um Größenordnungen größer als die Ausdehnung der Masse sind, kann jede Masse annähernd als punktförmig betrachtet werden. Befindet sich eine Probemasse m in diesem Gravitationsfeld, so ergibt sich

F_\mathrm{G} = m\,g(r) = m \frac{G M}{r^2}.

Dies entspricht dem Newtonschen Gravitationsgesetz, das den Betrag der wirkenden anziehenden Kraft zwischen den Massenschwerpunkten von M und m angibt, die sich im Abstand r befinden.

Da jede beliebig ausgedehnte Masse in (annähernd) punktförmige Teilmassen zerlegt werden kann, lässt sich jedes Gravitationsfeld auch als Summe über viele Punktmassen darstellen:

\vec{g}(\vec{r}) = -G \sum_{i} {m_i} \frac{\vec{r} - \vec{r}_i}{|\vec{r}-\vec{r}_i|^3}

wobei \vec{r}_i die Orte der Punktmassen m_i sind.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Torsten Fließbach: Mechanik. 5. Auflage. Spektrum, München 2007, ISBN 978-3-8274-1683-4.