Halbregulärer Raum

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Ein halbregulärer Raum ist ein mathematisches Objekt aus der mengentheoretischen Topologie. Er ist eine Verallgemeinerung des regulären Raums, dessen regulär offene Teilmengen eine Basis bilden.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein topologischer Raum heißt halbregulär, falls die regulär offenen Teilmengen eine Basis des Raums bilden.[1] Dabei heißt eine Teilmenge eines topologischen Raums genau dann regulär offen, wenn das Innere seines Abschlusses ist. Das heißt, ist genau dann regulär offen, wenn gilt.[2] Regulär offene Mengen werden auch kanonisch offene Mengen genannt.[1]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Alle regulär offenen Teilmengen eines topologischen Raums bilden zusammen mit der Halbordnung und den regulären Mengenoperationen , , eine vollständige boolesche Algebra.[2]
  • Jeder reguläre Raum ist auch halbregulär. Insbesondere bilden die regulär offenen Teilmengen eine Basis von , aber nicht alle topologischen Räume, deren regulär offene Teilmengen eine Basis bilden, sind regulär.
  • Jeder topologische Raum kann in einen halbregulären Raum eingebettet werden. Dazu betrachtet man die Menge , wobei das abgeschlossene Einheitsintervall ist, und erklärt darauf eine Topologie. Die offenen Mengen dieser Topologie sind für mit für kleine positive durch gegeben. Und für sind sie durch gegeben, wobei eine offene Umgebung von für alle und klein und positiv ist. Dieser Raum ist selbst halbregulär und ist eingebettet als abgeschlossener, nirgends dichter Unterraum.
  • Aus der dritten Eigenschaft ist ersichtlich, dass Unterräume halbregulärer Räume im Allgemeinen nicht halbregulär sind.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Stephen Willard: General Topology. Dover Publications, Mineola NY u. a. 2004, ISBN 0-486-43479-6, Kap. 3D & 14E.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Pavel S. Aleksandrov: Lehrbuch der Mengenlehre. 7. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2001, ISBN 3-8171-1657-8, S. 122.
  2. a b Lothar Ridder: Mereologie. Ein Beitrag zur Ontologie und Erkenntnistheorie (= Philosophische Abhandlungen. Bd. 83). Klostermann, Frankfurt am Main 2002, ISBN 3-465-03168-7, S. 170.