Harnack-Ungleichung

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In der Mathematik geben Harnack-Ungleichungen Abschätzungen für die oberen Schranken von Lösungen verschiedener Differentialgleichungen, insbesondere der Wärmeleitungsgleichung. Sie sind benannt nach dem Mathematiker Axel Harnack.

Klassische Harnack-Ungleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine nichtnegative Lösung der Wärmeleitungsgleichung

,

wobei den Laplace-Operator auf der kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit bezeichnet.

Dann gibt es eine nur von abhängende Konstante , so dass

für alle gilt.

Die Bestimmung der optimalen Konstante in Abhängigkeit von der Geometrie von ist ein schwieriges Problem.

Harmonische Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Insbesondere gilt für alle nichtnegativen harmonischen Funktionen .

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei der Ball mit Radius und Mittelpunkt im euklidischen Raum. Dann gilt für jede nichtnegative harmonische Funktion (mit stetigen Randwerten)

die Ungleichung

mit für alle .

Daraus ergibt sich die Harnack-Ungleichung für mit .

Differentielle Harnack-Ungleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit mit nichtnegativer Ricci-Krümmung und konvexem Rand, dann gilt für jede positive Lösung der Wärmeleitungsgleichung die Ungleichung

Aus dieser Ungleichung kann man häufig optimale Konstanten für die klassische Harnack-Ungleichung herleiten.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]