Hilbertscher Basissatz

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
(Weitergeleitet von Hilberts Basissatz)
Wechseln zu: Navigation, Suche

Der Hilbertsche Basissatz (nach David Hilbert) ist ein grundlegender Satz in der algebraischen Geometrie, er verbindet verschiedene Endlichkeitsbedingungen.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Hilbertsche Basissatz besagt in seiner allgemeinen Form:

  • Ist ein noetherscher Ring, so ist jeder Polynomring mit Koeffizienten in noethersch.[1][2]

Da die Algebren endlichen Typs genau die Quotientenringe von Polynomringen sind, ist diese Aussage äquivalent zu:

  • Ist ein noetherscher Ring und eine -Algebra endlichen Typs, so ist auch noethersch.

Die (bis auf den Sprachgebrauch) 1888 von Hilbert bewiesene Fassung behandelt den Spezialfall des Körpers:

  • Der Polynomring über einem Körper ist noethersch.

Folgerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine wichtige Anwendung ist die folgende Aussage: Ist eine Teilmenge eines für einen Körper durch unendlich viele Polynomgleichungen beschrieben, so genügen bereits endlich viele von ihnen.

Formaler: Sei eine beliebige Menge von Polynomen mit der Menge der gemeinsamen Nullstellen (auch Verschwindungsmenge von genannt):

Dann gibt es endlich viele , so dass gilt

.

Dies ist der schwierigste Teil des Beweises der Aussage, dass die Zariski-Topologie eine Topologie ist.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Kapitel I, §2, Satz 2.3 (sehr kurzer Beweis)
  2. B. L. van der Waerden: Algebra II, Springer-Verlag (1967), ISBN 3-540-03869-8, §115