Faktorring

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In der Algebra bezeichnet man eine bestimmte Art von Ringen als Faktorring oder Quotientenring oder Restklassenring. Es handelt sich dabei um eine Verallgemeinerung der Restklassenringe ganzer Zahlen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Ring und ein (beidseitiges) Ideal von , dann bildet die Menge der Äquivalenzklassen modulo mit folgenden Verknüpfungen einen Ring:

Diesen Ring nennt man den Faktorring modulo oder Restklassenring oder Quotientenring. (Er hat jedoch nichts mit den Begriffen Quotientenkörper bzw. Totalquotientenring zu tun; diese sind Lokalisierungen.)

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Menge aller ganzzahligen Vielfachen von ist ein Ideal in , und der Faktorring ist der Restklassenring modulo .
  • Ist ein Polynom über einem Integritätsring , dann ist die Menge aller Polynom-Vielfachen von ein Ideal im Polynomring , und ist der Faktorring modulo .
  • Betrachten wir das Polynom über dem Körper der reellen Zahlen, so ist der Faktorring isomorph zum Körper der komplexen Zahlen; die Äquivalenzklasse von entspricht dabei der imaginären Einheit .
Rechenbeispiele:
Das Polynom liegt wegen in derselben Äquivalenzklasse modulo wie .
Für das Produkt ermitteln wir

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal genau dann ein Primideal, wenn ein Integritätsring ist.
  • Ist ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal genau dann ein maximales Ideal, wenn ein Körper ist.
  • Ist ein Körper und ein irreduzibles Polynom über , dann ist ein maximales Ideal in und deshalb ist ein Körper. Dieser Körper ist ein Oberkörper von , in dem eine Nullstelle hat (die Restklasse von ). Die Körpererweiterung ist endlich und algebraisch, ihr Grad stimmt mit dem Grad von überein. Wiederholt man das Verfahren mit den über nicht-linearen irreduziblen Teilern von , so erhält man schließlich einen Körper, in dem in Linearfaktoren zerfällt: Den Zerfällungskörper von .

Idealtheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein kommutativer Ring mit Einselement und ein Ideal. Dann sind

  • die Ideale des Rings genau die Ideale von , die enthalten (also )
  • die Primideale des Rings genau die Primideale von , die enthalten
  • die Maximalideale des Rings genau die Maximalideale von , die enthalten

Bemerkung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Begriff ist zu unterscheiden vom faktoriellen Ring, in dem die eindeutige Primfaktorzerlegung existiert.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Kurt Meyberg, Algebra I, Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Kapitel 3: "Ringe"