Hopf-Fläche
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In der Mathematik ist die Hopf-Fläche eine gewisse 4-Mannigfaltigkeit. Sie wurde 1948 von Heinz Hopf gefunden als erstes Beispiel einer komplexen Fläche, die keine Kähler-Fläche ist.
Konstruktion
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die zyklische Gruppe wirke frei und eigentlich diskontinuierlich auf , zum Beispiel durch
- für .
Dann wird der Quotientenraum als Hopf-Fläche bezeichnet.
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Eine Hopf-Fläche ist homöomorph zu , insbesondere kompakt. Sie ist eine komplexe Fläche. Weil die erste Betti-Zahl ungerade ist, kann sie keine Kähler-Metrik besitzen. Insbesondere ist sie keine algebraische Fläche.
Die Abbildung definiert eine Faserung der Hopf-Fläche über der projektiven Gerade, deren Fasern elliptische Kurven sind.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- H. Hopf: Zur Topologie der komplexen Mannigfaltigkeiten. Studies Essays, pres. to R. Courant, 167–185 (1948).