IEEE 754-2008

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Der Standard IEEE 754-2008, der frühere Arbeitstitel lautete IEEE 754r, ist eine notwendig gewordene Revision des 1985 verabschiedeten Gleitkommastandards IEEE 754. Der alte Standard war sehr erfolgreich und wurde in zahlreichen Prozessoren und Programmiersprachen übernommen. Die Diskussion über die Revision begann im Jahr 2001; im Juni 2008 wurde der Standard angenommen und im August 2008 verabschiedet.[1]

Hauptziele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Hauptziele des verabschiedeten Standards konnten aufgeteilt werden in

  • das Zusammenführen von IEEE 754 und IEEE 854,
  • die Reduktion von Implementierungsalternativen,
  • die Entfernung von Mehrdeutigkeiten der bisherigen IEEE 754,
  • ein zusätzliches kumulierendes Produkt fused multiply-add: FMA(A,B,C) = A·B + C,
  • neben einfacher und doppelter auch Arithmetik mit halber und vierfacher Genauigkeit (zusätzlich zu 32 und 64 Bit auch 16 und 128 Bit),
  • die von der Finanzwirtschaft als notwendig erachteten Dezimalformate (IEEE 854),
  • weitere variable Formate und Austauschformate,
  • min und max mit Spezifikationen für die Spezialfälle ±0 und ±∞ sowie
  • Kosmetik: ab sofort heißt „denormalisiert“ „subnormal“

Der Standard soll Formate und Methoden für Gleitkommaarithmetik sowie eine Mindestqualität definieren.

Formate[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formate umfassen Gleitkommazahlen mit halber (16 Bit), einfacher (32 Bit), doppelter (64 Bit) sowie vierfacher (128 Bit) Genauigkeit. Das Halbformat stellt ein standardisiertes Minifloat dar. Ergänzt werden die Grundformate durch erweiterte (extended) und erweiterbare (neu!) Langzahl-Formate. Ebenfalls neu aufgenommen wurden Datenaustauschformate. Neben der 16/32/64/128-Bit-Darstellungen sind Darstellungen mit einem Vielfachen von 32 Bits definiert.

Dicht gepackte Dezimalformate (DFP, 3 Ziffern in 10 Bit) sind ebenfalls dazugekommen. Sie weichen von klassischen einzelzifferbasierten BCD-Formaten folgendermaßen ab:

  • Die Kapazität der nutzbaren Bits wird gut ausgenutzt, da 3 Dezimalziffern (001...999, 999 genutzte Werte) in jeweils 10 Bit (0...1023, 1024 mögliche Werte) gespeichert werden. Eine solche Gruppe heißt Declet. Der Verschnitt ist gegenüber klassischen BCD-Zahlen deutlich kleiner. Die letzte Spalte der Tabelle enthält den Informationsgehalt in Bit, der nur geringfügig geringer ist als der Speicherplatz (bei d=7 Mantissenziffern und einem Exponentenwertebereich von emin - emax unter Berücksichtigung der Vorzeichenbits ).
  • Die Verarbeitung der Dezimalziffern in Dreiergruppen kommt der üblichen Gruppierungsgewohnheit (23 223 456; 24 W, 24 kW, 24 MW) entgegen.
  • Die Zahl 0 hat auch das Bitmuster „0000…0“. Allerdings hat 0 eine relativ große Kohorte.
  • Die Zahlen 0 bis 9 eines Declets haben in den 6 führenden Bits eine 0.
  • Die Zahlen 10 bis 99 eines Declets haben in den 3 führenden Bits eine 0.
  • Ungerade Zahlen in Declets können mit Hilfe eines einzelnen Bits erkannt werden.
  • Die 24 unbenutzten Bitmuster ddx11x111x mit dd = 01, 10 oder 11 können leicht identifiziert werden.
  • Die so mit Declets gepackten Zahlen (Densely Packed) sind nicht mehr binär sortierbar, im Gegensatz zu „klassischen BCD-Formaten“.
  • Statt Speicherung in Declets kann die Mantisse auch ganzzahlig binär in einem gleich großen Bitfeld gespeichert werden. Die Bitfeldaufteilung ist im Combinationfield dann anders.
  • Eine Zahl ist nicht eindeutig; mehrere Bitmuster können dieselbe Zahl bezeichnen. Die Menge der Bitmuster einer Zahl heißt Kohorte. Innerhalb einer Kohorte wurde jedoch jeweils eine kanonische Darstellung festgelegt.

Signaling NaNs wurden zur Streichung vorgeschlagen (3. Februar 2003), später aber wieder in den Vorschlag aufgenommen (21. Februar 2003). Eine Signaling NaN ist eine NaN mit gesetztem Bit 7. Darstellungen von existieren und sind leicht erkennbar.

Typ Speicher-
bedarf
Mantisse Exponent Infor-
mations-
gehalt
in Bit
Bits m effektive Bits einer
normalisierten Zahl
p
Bits e Wertebereich Werte der Ko-
horte einer nor-
malisierten Zahl
emin emax Bias
b16 (half) 016 Bit 010 011 05 000−14 00015 00015 1 ≤ E ≤ 30 016
b32 (single) 032 Bit 023 024 08 00−126 00127 00127 1 ≤ E ≤ 254 032
b64 (double) 064 Bit 052 053 11 0−1022 01023 01023 1 ≤ E ≤ 2046 064
b128 (quad) 128 Bit 112 113 15 −16382 16383 16383 1 ≤ E ≤ 32766 128
k = 32j mit j ≥ 4 00k Bit k − rnd(4·ld(k)) + 12 k − rnd(4·ld(k)) + 13 rnd(4·ld(k)) − 13 1 − emax 2k−p−1 − 1 00emax 00k
d32 032 Bit 020+5(a) 07  Ziffern 06 00−95 0096 0101 031,83
d64 064 Bit 050+5 16  Ziffern 08 0−383 0384 0398 063,73
d128 128 Bit 110+5 34  Ziffern 12 −6143 6144 6176 127,53
k = 32j mit j ≥ 1 00k Bit 15 k/16 − 10 9 k/32 − 2  Ziffern k/16 + 4 1 − emax 3·2k/16+3 emax + p − 2
(a) 20+5 in Spalte 3 bedeutet:
  • in den 20 Bits werden 6 Dezimalstellen gespeichert (3 Stellen in jeweils 10 Bit)
  • in den 5 übrigen Bits wird gespeichert:
    • eine weitere Dezimalstelle
    • der Rest des Exponents bei Division durch 3
    • Signalisierungen für NaNs und Infs

Rundungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu den vier alten IEEE-754-Rundungen kommt eine zusätzliche hinzu, so dass folgende Rundungen gefordert werden:

  • vergrößernd (in Richtung +Unendlich)
  • verkleinernd (in Richtung −Unendlich)
  • betragsverkleinernd (in Richtung 0)
  • bestmöglich und in der Mitte zur nächsten geraden Zahl (to next or to even)
  • bestmöglich und in der Mitte betragsvergrößernd (to next – neu in IEEE 754r, eigentlich nur die klassische Handrechnungsrundung)

Die IEEE 754-Rundung (next even) wurde schon von Carl Friedrich Gauß vorgeschlagen und vermeidet ein statistisches Ungleichgewicht bei längeren Rechnungen zu größeren Zahlen hin.

In der Diskussion um den neuen Standard wird diese Erkenntnis offensichtlich wieder verworfen und die „Handrechnungsrundung“ (to next) wieder eingeführt.

Ausnahmen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ausnahmebedingungen und Ausnahmebehandlung werden spezifiziert.

Neue Funktionen sind Prädikatfunktionen (größer gleich) und Operatoren für Maximum und Minimum. Hier wird vor allem über die Ergebnisse bei den Sonderwerten (NaN, Inf) diskutiert.

Dezimalkodierungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Speicherplatzbedarf
DPD Größe für äquivalente Packed BCD Gewinn
032 bit 07×4 + 07,58 + 1 bit = 036,58 bit 0+4,48 bit
064 bit 16×4 + 09,58 + 1 bit = 074,58 bit +10,48 bit
128 bit 34×4 + 13,58 + 1 bit = 150,58 bit +22,48 bit

Die primäre Idee hinter der dicht gepackten Dezimaldarstellung ist, dass diese mit extrem wenig (Gatter-)Aufwand in eine klassische BCD-Darstellung für die Mantisse sowie einen binären Exponenten umkodiert werden kann, aber gleichzeitig den Speicherplatz so effizient wie möglich ausnutzt. Die eigentliche Verarbeitung findet dann im klassischen BCD-Format statt, nur beim Lesen und Schreiben von Registern ist eine Umkodierung erforderlich.

Die Kodierung von 32-bit-, 64-bit- und 128-bit-dezimalkodierten Zahlen erfolgt nach folgendem Schema. Für längere Dezimalkodierungen werden für jedes weitere 32-bit-Wort dem Exponenten 2 bit und der Mantisse 30 bit (3× 10 bit) zugeschlagen, so dass unter Beibehaltung des 5-bit-Kombinationsfeldes der Wertebereich des Exponenten sich vervierfacht und die Mantisse weitere neun Ziffern erhält.

Format Vorzeichen Kombinationsfeld restl. Exponent restliche Mantisse
032 bit 1 bit 5 bits 06 bits 020 bits
s m m m m m xxxxxx bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb
064 bit 1 bit 5 bits 08 bits 050 bits
s m m m m m xxxxxxxx bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb
128 bit 1 bit 5 bits 12 bits 110 bits
s m m m m m xxxxxxxxxxxx bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb
bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb
bbbbbbbbbb
0: positiv
1: negativ
Kodierung der MSBs
nach Tabelle 1
binäre
Kodierung
Jedes Declet ist nach Tabelle 2 kodiert und liefert drei weitere Ziffern.
Vorzeichen Ziffer 1 MSB + LSB Exponent Ziffer 2 Ziffer 3 Ziffer 4 Ziffer 5 Ziffer 6 Ziffer 7 Ziffer 8 Ziffer 9 ...

Die Zahl besteht aus

  • einem Vorzeichen: dieses wird im Vorzeichenbit s gespeichert.
  • einem Exponenten, der seinen Wertebereich von emin ... emax unter Zuhilfenahme eines Bias auf die Werte 0 ... 3 · 2e − 1 = (0 ... 2) · 2e + (0 ... 2e − 1) abbildet. Die oberen drei Zustände werden im Kombinationsfeld, die restlichen e bit binär im restlichen Exponenten gespeichert.
  • einer Mantisse, die aus p = 3 · n + 1 Ziffern besteht. Die höchstwertige Ziffer wird im Kombinationsfeld, die restlichen 3 · n Ziffern werden in Dreiergruppen in der restlichen Mantisse gespeichert.

Zur Dekodierung und Kodierung werden folgende Kodiertabellen benötigt:

Tabelle 1: Kodierregeln für das Kombinationsfeld der MSBs des Exponenten und der Mantisse
Kombinationsfeld MSBs des Kod.
Wert
Beschreibung
m4 m3 m2 m1 m0 Exp. Mant.
0 0 a b c 00 0abc (0-7) Ziffer bis 7
0 1 a b c 01 0abc
1 0 a b c 10 0abc
1 1 0 0 c 00 100c (8-9) Ziffer größer 7
1 1 0 1 c 01 100c
1 1 1 0 c 10 100c
1 1 1 1 0 ±Infinity
1 1 1 1 1 NaN
Bemerkung
Das Vorzeichenbit von NaNs wird ignoriert. Das MSB des restlichen Exponenten bestimmt, ob das NAN quiet oder signaling ist.
Tabelle 2: Kodierregeln für die Declets der dichtgepackten dezimalen Ziffern der restlichen Mantisse[2]
DPD kodierter Wert Dezimalziffern
b9 b8 b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0 d2 d1 d0 Kodierter Wert Beschreibung
a b c d e f 0 g h i 0abc 0def 0ghi (0–7) (0–7) (0–7) drei Ziffern bis 7
a b c d e f 1 0 0 i 0abc 0def 100i (0–7) (0–7) (8–9) zwei Ziffern bis 7,
eine größer 7
a b c g h f 1 0 1 i 0abc 100f 0ghi (0–7) (8–9) (0–7)
g h c d e f 1 1 0 i 100c 0def 0ghi (8–9) (0–7) (0–7)
g h c 0 0 f 1 1 1 i 100c 100f 0ghi (8–9) (8–9) (0–7) eine Ziffer bis 7,
zwei Ziffern größer 7
d e c 0 1 f 1 1 1 i 100c 0def 100i (8–9) (0–7) (8–9)
a b c 1 0 f 1 1 1 i 0abc 100f 100i (0–7) (8–9) (8–9)
? ? c 1 1 f 1 1 1 i 100c 100f 100i (8–9) (8–9) (8–9) drei Ziffern größer 7
Hinweis
Da im Gegensatz zur Binärdarstellung, in der durch Normalisierung und Weglassen des MSBs einer Normalierung erzwungen wird, keine Normalisierung erzwungen wird und die Ziffer 0 als höchstwertige Ziffer verfügbar ist, sind Zahlen nichteindeutig kodierbar.

Dezimalen Gleitkommazahlen in der Praxis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Absichten hinter dezimalen Gleitkommazahlen sind:

  • Endliche Dezimalbrüche bis zu einer gewissen Länge lassen sich präzise darstellen.
  • ...
  • ...

Die Probleme sind:

  • Sowohl im Binär- wie im Dezimalformat sind die meisten Zahlen nicht präzise darstellbar. Nach wenigen Rechenschritten sind die meisten Berechnungen unpräzise. Eine Währungsumrechnung oder das Abziehen der Umsatzsteuer reicht aus.
  • Für die meisten angegebenen Probleme gibt es einfachere und gleichzeitig leistungsfähigere Lösungen. Für Finanzaufgaben steht unter Dot.NET z. B. der Datentyp Decimal zur Verfügung, der Ganzzahlen mit absoluten Werten bis 79.228.162.514.264.337.593.543.950.335 darstellen kann. Der Typ hat übrigens mit Dezimalzahlen nichts zu tun ...
  • Sie stellt eine weitere Fehlerquelle für Hardware (zusätzliche Logik) und Software (Konvertierfehler) dar.

Die Ergebnisse sind:

  • Dezimalen Gleitkommazahlen sind standardisiert, aber auch nach 15 Jahren in käuflich erwerblicher fester Hardware nicht verfügbar. Man kann sie in Software, in FPGAs und in ASICs implementieren, aber selbst darüber halten sich die Publikationen in Grenzen und sind meist auf Addition und Subtraktion beschränkt.
  • Die Dezimalformate werden hauptsächlich von der Finanzwirtschaft gefordert, aber sobald man genauer hinschaut, nicht benötigt. Festkommadarstellungen auf Basis der kleinsten Verrechnungseinheit und 64-bit-Ganzzahlen decken gegenüber Decimal64 einen 922× so großen Wertebereich exakt ab (−92.233.720.368.547.758,08...+92.233.720.368.547.758,07 gegenüber −99.999.999.999.999,99...+99.999.999.999.999,99). Sie können allerdings keine noch größeren Werte mit dann verminderter Genauigkeit darstellen noch können sie kleinere Beträge genauer darstellen.

Sinnvoll sind sie:

  • uneingeschränkt als Austauschformate, wenn die genaue Repräsentation von Dezimalwerten erforderlich ist.

Hier prallen zwei gegensätzliche Standpunkte aufeinander.

  • Auf der einen Seite werden die Speicher-, Rechenzeit- und Kosten-Vorteile, sowie die gleichmäßigere Zahlenverteilung eines dualen Formates herausgestellt.
  • Auf der anderen Seite wird argumentiert, dass exakte Ergebnisse (meist sind Ergebnisse wie bei Handrechnungen gemeint) nur mit Dezimalarithmetik möglich sind und in Zeiten schneller Prozessoren und billiger Speicher die Nachteile nicht mehr ins Gewicht fallen.

Manche Experten gehen sogar soweit, zu behaupten, dass duale Arithmetik in Zukunft kaum noch eine Rolle spielen wird. Ein zugegeben polemisches Zitat zu diesem Thema stammt vom „Gleitkomma-Altmeister“ William Kahan:

“Why is decimal floating-point hardware a good idea anyway? Because it can help our industry avoid errors designed not to be found.”

„Warum ist dezimale Gleitkommahardware auf jeden Fall eine gute Idee? Weil sie unserer Industrie hilft die Fehler zu vermeiden, die verfahrensbedingt nicht gefunden werden können.“[3]

Er übersieht dabei aber, dass

  • Gepackte Dezimalformate zusätzliche Chipfläche benötigen, eine geringere Effizienz aufweisen und langsamer sind.
  • Rechenleistung jeder Größenordnung neue Aufgabenbereiche eröffnet und es trotzdem immer wieder Aufgaben geben wird, für die sie nicht ausreicht.
  • Es niemals so viel Rechenleistung geben wird, dass man freiwillig auf diese verzichten würde.
  • Je komplexer die Rechnung, desto weniger interessiert es jemanden, ob diese dezimal exakt darstellbar ist. Nur wenigen auserwählten Zahlen wird die Ehre zuteil, von einem Menschen im Dezimalsystem eingetippt zu werden oder von einem Menschen im Dezimalsystem gelesen zu werden.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. IEEE 754-2008: Standard for Floating-Point Arithmetic, IEEE Standards Association, 2008, doi:10.1109/IEEESTD.2008.4610935
  2. A Summary of Densely Packed Decimal encoding. IBM. 13. Februar 2007.
  3. Floating-Point Arithmetic Besiegedby “Business Decisions” (PDF; 174 kB), IEEE-Sponsored ARITH 17 Symposium on Computer Arithmetic, 2007 (englisch)