Identitätsgleichung

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Eine Identitätsgleichung[1], kurz Identität, ist in der Mathematik eine Gleichung, die für alle möglichen Parameterwerte erfüllt ist.[1] Im Gegensatz dazu sind Bestimmungsgleichungen im Allgemeinen nur für bestimmte Parameterwerte erfüllt. Aufgrund dieser Eigenschaft können Identitäten in einer Gleichheits- oder Ungleichheitsaussage benutzt werden, um einen Term zu ersetzen, ohne die Gültigkeit der Aussage einzuschränken, in der er auftaucht. Idealerweise lassen sich die Lösungen der umgeschriebenen Form leichter finden als die der ursprünglichen Form.

Um eine Identität klar von einer Bestimmungsgleichung zu trennen, heben manche Autoren Identitäten in der Notation durch ein Gleichheitszeichen mit drei Strichen hervor: ≡.

Der Begriff Identität macht zunächst keine mathematisch präzise Aussage. Man muss zusätzlich angeben, bezüglich welcher Grundmenge G die Identität gültig ist. Tatsächlich lässt sich die Lösungsmenge L einer beliebigen Bestimmungsgleichung als neue Grundmenge verwenden, womit die Bestimmungsgleichung als Identität bezüglich L betrachtet werden kann. Somit haben die Begriffe Identität und Bestimmungsgleichung nicht von vornherein einen klaren Wesensunterschied. Man fordert meistens, dass die Grundmenge möglichst groß ist und möglichst einfach beschrieben werden kann.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Identität \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 ist für beliebige komplexe (und so auch reelle) x erfüllt. Im Gegensatz dazu ist z. B. \sin(x) = \cos(x) eine Gleichung, die nur für bestimmte Werte (Lösungen der Gleichung) von x erfüllt ist, nämlich für x=\pi/4+n\,\pi, wobei n eine ganze Zahl ist.
  • Die Eulersche Identität ist  e^{\mathrm{i}\,\varphi} = \cos\left(\varphi \right) + \mathrm{i}\,\sin\left( \varphi\right) . Ihr Spezialfall e^{i \pi} + 1 = 0 zeigt einen Zusammenhang zwischen den fundamentalen mathematischen Konstanten auf.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Wolfgang Brauch: Mathematik für Ingenieure / Wolfgang Brauch ; Hans-Joachim Dreyer ; Wolfhart Haacke. Unter Mitarb. von Wolfgang Gentzsch. Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8351-0073-4, S. 40.