Implizite Differentiation

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Die implizite Differentiation (auch implizite Ableitung) ist eine Möglichkeit, eine Funktion, die nicht explizit durch einen Term, sondern nur implizit durch eine Gleichung gegeben ist, mit Hilfe der mehrdimensionalen Differentialrechnung abzuleiten.[1] Sie kann oft auch benutzt werden, um die Ableitung von Funktionen, die zwar explizit gegeben sind, in dieser Form aber schwierig abzuleiten sind, zu bestimmen.

Regel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erfüllt die differenzierbare Funktion die Gleichung

,

wobei auch , eine differenzierbare Funktion ist, so bedeutet das, dass die Funktion konstant ist. Durch Ableiten mithilfe der mehrdimensionalen Kettenregel erhält man dann

Hierbei sind und die partiellen Ableitungen von . Zur Vereinfachung der Schreibweise wurden die Funktionsargumente weggelassen.

Gilt an einer Stelle , so gilt dies auch für alle in einer Umgebung von und man kann die Gleichung nach auflösen:

bzw. ausführlich

Höhere Ableitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch Anwendung der Produkt- und Kettenregel können auch höhere Ableitungen impliziter Funktionen berechnet werden. So ergibt sich die zweite Ableitung zu:

mit , , . [2]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion , , kann mit den herkömmlichen Ableitungsregeln nicht ohne Umformungen abgeleitet werden, da sowohl Exponent als auch Basis der Potenz variabel sind. Zunächst kann man durch Logarithmieren den Exponenten eliminieren:

.

Nun leitet man implizit ab, indem man beide Seiten herkömmlich nach ableitet:

Die linke Seite kann mit der Kettenregel, die rechte mit der Produktregel und der Regel für die Ableitung des Logarithmus berechnet werden:

Löst man nach auf und setzt ein, so erhält man als Lösung:

.

Beispiel 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Kreis mit Mittelpunkt und Radius ist gegeben durch die Gleichung . Teile davon kann man als Graph einer Funktion schreiben. Deren Ableitung lässt sich mit Hilfe der impliziten Differentiation wie folgt berechnen:

In die definierende Gleichung setzt man ein:

Durch Ableiten dieser Gleichung erhält man

Für ergibt Auflösen nach

Daraus folgt, dass die Tangente an den Kreis im Punkt mit die Steigung hat.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Gerhard Marinell: Mathematik für Sozial- und Wirtschaftswissenschaftler. 7. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2001, ISBN 3-486-25567-3, S. 135–136 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. Jörg Feldvoss, Höhere Ableitungen impliziter Funktionen, 2000: https://www.southalabama.edu/mathstat/personal_pages/feldvoss/impldiff.pdf