Partielle Ableitung

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In der Differentialrechnung ist eine partielle Ableitung die Ableitung einer Funktion mit mehreren Argumenten nach einem dieser Argumente (in Richtung dieser Koordinatenachse). Die Werte der übrigen Argumente werden also festgehalten.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine offene Teilmenge des euklidischen Raums , und eine Funktion. Sei weiterhin ein Element in gegeben. Falls für die natürliche Zahl mit der Grenzwert

existiert, dann nennt man ihn die partielle Ableitung von nach der -ten Variablen im Punkt . Die Funktion heißt dann im Punkt partiell differenzierbar. Das Symbol ∂ (es ähnelt dem kursiven Schnitt der kyrillischen Minuskel д) wird als d oder zur Unterscheidung auch del ausgesprochen. Die Schreibweise wurde durch Verwendung von C. G. J. Jacobi bekannt.[1]

Höhere Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die partielle Ableitung nach ist selbst wieder eine Funktion von nach , falls in ganz nach partiell differenzierbar ist. Als abkürzende Schreibweise für die partiellen Ableitungen ist auch oft , oder zu finden.

Ist die Funktion in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs partiell differenzierbar, so sind die partiellen Ableitungen

wieder Funktionen von nach , die wiederum auf Differenzierbarkeit untersucht werden können. Man erhält so höhere partielle Ableitungen

  und  

Geometrische Deutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einem dreidimensionalen Koordinatensystem wird der Funktionsgraph einer Funktion betrachtet. Der Definitionsbereich sei eine offene Teilmenge der xy-Ebene. Ist differenzierbar, dann ist der Graph der Funktion eine Fläche über dem Definitionsbereich .

Für einen festen Wert von ist dann eine Funktion in . Bei festem ergeben die Punkte eine Strecke parallel zur -Achse. Diese Strecke wird von auf eine gekrümmte Linie auf dem Graph von projiziert. Die partielle Ableitung von nach entspricht unter diesen Voraussetzungen der Steigung der Tangente an diese Kurve im Punkt .

Sätze und Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zusammenhang Ableitung, partielle Ableitung, Stetigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Total differenzierbare Funktionen sind stetig.
  • Total differenzierbare Funktionen sind partiell differenzierbar.
  • Partiell differenzierbare Funktionen sind nicht notwendigerweise stetig und damit auch nicht notwendigerweise total differenzierbar.
  • Stetig partiell differenzierbare Funktionen, also Funktionen, deren partielle Ableitungen stetig sind, sind dagegen stetig total differenzierbar.

Satz von Schwarz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Es gilt der Satz von Schwarz: Wenn die zweiten partiellen Ableitungen stetig sind, so kann man die Reihenfolge der Ableitung vertauschen:

Verwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die ersten partiellen Ableitungen lassen sich in einem Vektor anordnen, dem Gradienten von :
Hierbei ist der Nabla-Operator.
  • Die zweiten partiellen Ableitungen lassen sich in einer Matrix anordnen, der Hesse-Matrix
  • Es gilt die Taylorformel: Wenn die Funktion -mal stetig partiell differenzierbar ist, so lässt sie sich in der Nähe jedes Punktes durch ihre Taylor-Polynome approximieren:
mit , wobei das Restglied für von höherer als -ter Ordnung verschwindet, das heißt:
Die Terme zu gegebenem ν ergeben die „Taylorapproximation -ter Ordnung“.
  • Einfache Extremwertprobleme findet man in der Analysis bei der Berechnung von Maxima und Minima einer Funktion einer reellen Variablen (vgl. hierzu den Artikel über Differentialrechnung). Die Verallgemeinerung des Differentialquotienten auf Funktionen mehrerer Variablen (Veränderlichen, Parameter) ermöglicht die Bestimmung ihrer Extremwerte, und für die Berechnung werden partielle Ableitungen benötigt.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Beispiel wird die Funktion mit betrachtet, die von den beiden Variablen und abhängt.

Betrachtet man als eine Konstante, z. B. , so hängt die Funktion mit nur noch von der Variablen ab:

Für die neue Funktion gilt folglich und man kann den Differenzialquotienten bilden

Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die partielle Ableitung der Funktion nach bildet:

Die partielle Ableitung von nach lautet entsprechend:

Dieses Beispiel demonstriert, wie die partielle Ableitung einer Funktion bestimmt wird, die von mehreren Variablen abhängt:

Bis auf eine Variable werden alle anderen Variablen als konstant angenommen, bezüglich dieser einen Variablen wird der Differenzialquotient bestimmt. Als Ergebnis erhält man die partielle Ableitung der Funktion nach dieser einen Variablen.

Beispiel 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da die partielle Ableitung nach einer Variablen der gewöhnlichen Ableitung bei festgehaltenen Werten aller anderen Variablen entspricht, können für die Berechnung alle Ableitungsregeln wie bei Funktionen einer Variablen verwendet werden. Ist beispielsweise

,

so folgt mit Produkt- und Kettenregel:

   und
.

Partielle und totale Ableitung nach der Zeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Physik (vor allem in der Theoretischen Mechanik) tritt häufig die folgende Situation auf: Eine Größe hängt durch eine total differenzierbare Funktion von den Ortskoordinaten , , und von der Zeit ab. Man kann also die partiellen Ableitungen , , und bilden. Die Koordinaten eines sich bewegenden Punktes sind durch die Funktionen , und gegeben. Die zeitliche Entwicklung des Werts der Größe am jeweiligen Bahnpunkt wird dann durch die verkettete Funktion

beschrieben. Diese Funktion hängt nur von einer Variablen, der Zeit , ab. Man kann also die gewöhnliche Ableitung bilden. Diese nennt man die totale oder vollständige Ableitung von nach der Zeit und schreibt dafür auch kurz . Sie berechnet sich nach der mehrdimensionalen Kettenregel wie folgt:

Während bei der partiellen Ableitung nach der Zeit nur die explizite Abhängigkeit der Funktion von berücksichtigt wird und alle anderen Variablen konstant gehalten werden, berücksichtigt die totale Ableitung auch die indirekte (oder implizite) Abhängigkeit von , die dadurch zustande kommt, dass längs der Bahnbewegung die Ortskoordinaten von der Zeit abhängen.

(Indem man also die implizite Zeitabhängigkeit mitberücksichtigt, redet man im Jargon der Physik auch von „substantieller“ Zeitableitung, bzw. im Jargon der Strömungsmechanik von der Euler-Ableitung im Gegensatz zur Lagrange-Ableitung.)

→ Für eine ausführlichere Darstellung siehe Totales Differential

Verallgemeinerung: Richtungsableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Verallgemeinerung der partiellen Ableitung stellt die Richtungsableitung dar. Dabei wird die Ableitung in Richtung eines beliebigen Vektors betrachtet und nicht nur in Richtung der Koordinatenachsen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Kurt Endl; Wolfgang Luh: Analysis II, Akademische Verlagsgesellschaft Frankfurt am Main, 1974
  • Hans Grauert; Wolfgang Fischer: Differential- und Integralrechnung II, 2., verbesserte Auflage, Springer Verlag Berlin, 1978

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Heuser verweist auf J. f. reine u. angew. Math., Nr. 17 (1837) (Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 2., Teubner Verlag, 2002, S. 247). Eine detaillierte Herkunft gibt Jeff Miller: [1].