Inhaltskette

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Unter einer Inhaltskette (auch Aliquot-Folge von engl. aliquot sequence) versteht man eine Folge positiver ganzer Zahlen, in der jede der Zahleninhalt (die Summe der echten Teiler) ihres Vorgängers ist. Beispielsweise ist (10, 8, 7, 1, 0) die Inhaltskette von 10:

s(10) = 5 + 2 + 1 = 8
s(8) = 4 + 2 + 1 = 7
s(7) = 1
s(1) = 0

Natürliche Zahlen, die über Inhaltsketten auf die gleiche Primzahl (abgesehen von der 0 und 1) führen, bilden eine Primzahlfamilie (engl. prime family), kurz auch P-Familie (engl. p-family) genannt. Eine Ringfamilie (engl. cycle family), kurz auch R-Familie genannt (engl. c-family), terminiert in einem Ring vollkommener, befreundeter oder geselliger Zahlen.

Die Catalan-Dickson-Vermutung (benannt nach Eugène Charles Catalan und Leonard Eugene Dickson) besagt, dass jede Inhaltskette periodisch wird oder mit 0 endet. Sie ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt.

Die Längen der Inhaltsketten für n = 1, 2, ... ausgenommen vom Startwert, sind 1, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 4, 2, 7, 2, 5, 5, 6, 2, ... (Folge A044050 in OEIS).

Die Inhaltsketten von 25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, ... (Folge A063769 in OEIS) terminieren in einer perfekten Zahl.

Die Inhaltsketten von 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, ... (Folge A080907 in OEIS) terminieren in der 0.

Inhaltsketten können beispielsweise in der factoring database generiert werden.

Formale Definition[Bearbeiten]

Die Inhaltskette mit dem Startwert n oder Inhaltskette von n ist die Folge

\bigl(n,\,s(n),\,s(s(n)),\,s(s(s(n))),\,\ldots\bigr),

wobei s(n) = \sigma(n) - n mit der Teilersumme \sigma.

Lehmer-Six und -Five[Bearbeiten]

Die ersten sechs offenen (nicht vollständig berechneten) Ketten im Intervall [1, 1000] wurden nach dem Ehepaar Derrick Lehmer und Emma Lehmer Lehmer-Six genannt. Ihre Startzahlen waren 276, 552, 564, 660, 840 und 966.

Die Kette mit der Startzahl 840 ist nun vollständig bekannt. Sie terminiert in der Primzahl 601, gefolgt von 1 und 0. Die restlichen 5 offenen Ketten werden nun Lehmer-Five genannt. Die Kette mit der Startzahl 276 wurde bis s1661(276) = 828579689207854231700104280392137451390009094307100079055497138748077003429376547829092101844491763309481122250886156621164877126867618972297907847860949694119802 berechnet. Abgesehen von 2, 32 und 17 sind keine weiteren Primfaktoren mehr bekannt. Die Kette mit der Startzahl 552 ist bis zu s1000(552) = 2794872109104142939547040872964671736140257182466402607234754288301809152153432092781830003844507869549816694690620457413683217553432931111904090024134787039805079744 = 26 · 32 · 23 · 3386311 · ? bekannt, die Kette mit der Startzahl 564 bis zu s3331(564) = 62480132633545725517909281438721367091842001184520349840724510325207881275036412684818098341758828567208076019524744242876290219121978072647629225267249508248342007605868 = 22 · 32 · 7 · 83 · ?, die Kette mit der Startzahl 660 bis zu s868(660) = 16788048498108629410245989258167410533133694355609925867939682790692192589086073968208670999907251359882905744795251057874406030687132867210822582738876902402909209285299640 = 23 · 33 · 5 · 130241801411 · 16005149345444515675217297 · ? und die Kette mit der Startzahl 966 bis zu s830(966) = 416972214461346415624349922965959741224644564312867092205292393763956854903020121271060952565951183457861634303355328940722929059955235489819461527450056524348602344 = 23 · 3 · 61 · ?.

Außerdem gibt es im Intervall [1, 10000] zurzeit 81 offene Ketten, in [1, 100000] 902 und in [1, 106] 9312. Für diese Ketten hat sich keine Bezeichnung durchgesetzt.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]