Inhaltskette

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Unter einer Inhaltskette (auch Aliquot-Folge von engl. aliquot sequence) versteht man eine Folge positiver ganzer Zahlen, in der jede der Zahleninhalt (die Summe der echten Teiler) ihres Vorgängers ist.

Formale Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Inhaltskette mit dem Startwert n oder Inhaltskette von n ist die Folge

wobei mit der Teilersumme .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Natürliche Zahlen, die über Inhaltsketten auf die gleiche Primzahl (abgesehen von der 0 und 1) führen, bilden eine Primzahlfamilie (engl. prime family), kurz auch P-Familie (engl. p-family) genannt. Eine Ringfamilie (engl. cycle family), kurz auch R-Familie genannt (engl. c-family), terminiert in einem Ring vollkommener, befreundeter oder geselliger Zahlen.

Die Catalan-Dickson-Vermutung (benannt nach Eugène Charles Catalan und Leonard Eugene Dickson) besagt, dass jede Inhaltskette periodisch wird oder mit 0 endet. Sie ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt.

Die Längen der Inhaltsketten für n = 1, 2, ... ausgenommen vom Startwert, sind 1, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 4, 2, 7, 2, 5, 5, 6, 2, ... (Folge A044050 in OEIS).

Die Inhaltsketten von 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, ... (Folge A080907 in OEIS) terminieren in der 0.

Die Inhaltsketten von 25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, ... (Folge A063769 in OEIS) terminieren in einer perfekten Zahl.

Perfekte Zahlen terminieren ebenfalls in einer perfekten Zahl, nämlich sich selbst (weil sie so definiert sind).

Die Inhaltsketten von 220, 284, 562, 1064, 1184, 1188, 1210, 1308, 1336, 1380, ... (Folge A121507 in OEIS) terminieren in einem Zykel mit einer Länge von mindestens 2 (man sagt auch „Kette der Ordnung (von) mindestens 2“).

Befreundete Zahlen terminieren in einem Zykel mit einer Länge von 2 (weil sie so definiert sind).

Gesellige Zahlen terminieren in einem Zykel der Länge 3 oder größer (weil sie so definiert sind).

Inhaltsketten können beispielsweise in der factoring database generiert werden.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel 1:

Die Inhaltskette von 10 ist (10, 8, 7, 1, 0) und terminiert in der 0:

s(10) = 5 + 2 + 1 = 8
s(8) = 4 + 2 + 1 = 7
s(7) = 1
s(1) = 0

Beispiel 2:

Die Inhaltskette von 95 ist (95, 25, 6, 6,...) und terminiert in der perfekten Zahl 6:

s(95) = 19 + 5 + 1 = 25
s(25) = 5 + 1 = 6
s(6) = 3 + 2 + 1 = 6
s(6) = 3 + 2 + 1 = 6
...

Beispiel 3:

Die Inhaltskette von 220 ist (220, 284, 220, 284, 220,...) und terminiert in einem Zykel mit einer Länge von 2 (220 und 284 sind befreundete Zahlen):

s(220) = 110 + 55 + 44 + 22 + 20 + 11 + 10 + 5 + 4 + 2 + 1 = 284
s(284) = 142 + 71 + 4 + 2 + 1 = 220
s(220) = 110 + 55 + 44 + 22 + 20 + 11 + 10 + 5 + 4 + 2 + 1 = 284
s(284) = 142 + 71 + 4 + 2 + 1 = 220
...

Beispiel 4:

Die Inhaltskette von 12496 ist (12496, 14288, 15472, 14536, 14264, 12496,...) und terminiert in einem Zykel mit einer Länge von 5 (diese 5 Zahlen sind gesellige Zahlen):

s(12496) = 6248 + 3124 + 1562 + 1136 + 781 + 568 + 284 + 176 + 142 + 88 + 71 + 44 + 22 + 16 + 11 + 8 + 4 + 2 + 1 = 14288
s(14288) = 7144 + 3572 + 1786 + 893 + 752 + 376 + 304 + 188 + 152 + 94 + 76 + 47 + 38 + 19 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 15472
s(15472) = 7736 + 3868 + 1934 + 967 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 14536
s(14536) = 7268 + 3634 + 1817 + 632 + 316 + 184 + 158 + 92 + 79 + 46 + 23 + 8 + 4 + 2 + 1 = 14264
s(14264) = 7132 + 3566 + 1783 + 8 + 4 + 2 + 1 = 12496
...

Beispiel 5:

Die Inhaltskette von 14316 ist (14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716, 14316,...) und terminiert in einem Zykel mit einer Länge von 28 (diese 28 Zahlen sind somit ebenfalls gesellige Zahlen).

Lehmer-Six und -Five[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die ersten sechs offenen (nicht vollständig berechneten) Ketten im Intervall [1, 1000] wurden nach dem Ehepaar Derrick Lehmer und Emma Lehmer Lehmer-Six genannt. Ihre Startzahlen waren 276, 552, 564, 660, 840 und 966.

Die Kette mit der Startzahl 840 ist nun vollständig bekannt. Sie terminiert in der Primzahl 601, gefolgt von 1 und 0. Die restlichen 5 offenen Ketten werden nun Lehmer-Five genannt.

Die Kette mit der Startzahl 276 wurde bis s2051(276) = 25570762209046000342685273486594927167529019633277946841754628360838797240507448147947874769812757161021596249570581685757133783676229344953347826972366231715712706064661307237486169963473029199328115162 berechnet. Abgesehen von 2, 3 und 29 sind keine weiteren Primfaktoren mehr bekannt. Der Restfaktor Z201 hat 201 Stellen (Stand: 22. Februar 2017).[1]

Die Kette mit der Startzahl 552 ist bis zu s1126(552) = 80031426345790699557281859578445627296685064309700034437393362651090902073961716065426269057887917257417656605940272262452928113384533387219506134133810961583982723446145010121355035123028452 = 22 · 3 · 11 · 1381 · Z186 bekannt (Stand: 22. Februar 2017).[1]

Die Kette mit der Startzahl 564 ist bis zu s3463(564) = 203265898256854140167291457072358595497662011748113456499108803700962463892794338798935323224348326015815563117982277447650179157603093239737992535439356133476752222180531866348650977083456473872507 = 24 · 41 · 113 · 287801 · Z188 bekannt (Stand: 22. Februar 2017).[1]

Die Kette mit der Startzahl 660 ist bis zu s971(660) = 111551525152069570255156656614523512571233811729782821940399477322584269136382625190103459801758648077714142042933239896124691389224334380121209671436032770054737557024474597932536720122933111985568 = 25 · 2069 · Z193 bekannt (Stand: 22. Februar 2017).[1]

Die Kette mit der Startzahl 966 ist bis zu s959(966) = 755212787712179534097512097760540733147711373578120631539066151145619144034441017414334601043258673345563382981435120802933582036794114579306773775418042614407002005671675856948450923010096 = 24 · 33 · 23 · 29 · Z184 bekannt (Stand: 22. Februar 2017).[1]

Außerdem gibt es im Intervall [1, 10000] zurzeit 81 offene Ketten, im Intervall [1, 100000] genau 898 und im Intervall [1, 106] genau 9190 offene Ketten (Stand: 29. Mai 2016). Für diese Ketten hat sich keine Bezeichnung durchgesetzt.[2]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b c d e Paul Zimmermann: Aliquot sequences 276, 552, 564, 660, 996, 1074 and 1134. Wolfram MathWorld, abgerufen am 22. Februar 2017.
  2. Wolfgang Creyaufmüller: Primzahlfamilien - aliquot sequences. Abgerufen am 29. Mai 2016.