Inhaltskette

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Unter einer Inhaltskette (auch Aliquot-Folge von engl. aliquot sequence) versteht man eine Folge positiver ganzer Zahlen, in der jede der Zahleninhalt (die Summe der echten Teiler) ihres Vorgängers ist. Beispielsweise ist (10, 8, 7, 1, 0) die Inhaltskette von 10:

s(10) = 5 + 2 + 1 = 8
s(8) = 4 + 2 + 1 = 7
s(7) = 1
s(1) = 0

Natürliche Zahlen, die über Inhaltsketten auf die gleiche Primzahl (abgesehen von der 0 und 1) führen, bilden eine Primzahlfamilie (engl. prime family), kurz auch P-Familie (engl. p-family) genannt. Eine Ringfamilie (engl. cycle family), kurz auch R-Familie genannt (engl. c-family), terminiert in einem Ring vollkommener, befreundeter oder geselliger Zahlen.

Die Catalan-Dickson-Vermutung (benannt nach Eugène Charles Catalan und Leonard Eugene Dickson) besagt, dass jede Inhaltskette periodisch wird oder mit 0 endet. Sie ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt.

Die Längen der Inhaltsketten für n = 1, 2, ... ausgenommen vom Startwert, sind 1, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 4, 2, 7, 2, 5, 5, 6, 2, ... (Folge A044050 in OEIS).

Die Inhaltsketten von 25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, ... (Folge A063769 in OEIS) terminieren in einer perfekten Zahl.

Die Inhaltsketten von 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, ... (Folge A080907 in OEIS) terminieren in der 0.

Inhaltsketten können beispielsweise in der factoring database generiert werden.

Formale Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Inhaltskette mit dem Startwert n oder Inhaltskette von n ist die Folge

wobei mit der Teilersumme .

Lehmer-Six und -Five[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die ersten sechs offenen (nicht vollständig berechneten) Ketten im Intervall [1, 1000] wurden nach dem Ehepaar Derrick Lehmer und Emma Lehmer Lehmer-Six genannt. Ihre Startzahlen waren 276, 552, 564, 660, 840 und 966.

Die Kette mit der Startzahl 840 ist nun vollständig bekannt. Sie terminiert in der Primzahl 601, gefolgt von 1 und 0. Die restlichen 5 offenen Ketten werden nun Lehmer-Five genannt.

Die Kette mit der Startzahl 276 wurde bis s2026(276) = 262165219624402273876646732209905380996575971300822172790020215753934186962480256240257301008558207606489942181885494628465403357207341262776420106822130314080072280720897417936580308460482142823668486 berechnet. Abgesehen von 2, 3, 71, 2748121586420209 und 126266467494583583108889193 sind keine weiteren Primfaktoren mehr bekannt. Der Restfaktor Z157 hat 157 Stellen (Stand: 10. August 2016). [1]

Die Kette mit der Startzahl 552 ist bis zu s1126(552) = 80031426345790699557281859578445627296685064309700034437393362651090902073961716065426269057887917257417656605940272262452928113384533387219506134133810961583982723446145010121355035123028452 = 22 · 3 · 11 · 1381 · Z186 bekannt (Stand: 10. August 2016).[1]

Die Kette mit der Startzahl 564 ist bis zu s3463(564) = 203265898256854140167291457072358595497662011748113456499108803700962463892794338798935323224348326015815563117982277447650179157603093239737992535439356133476752222180531866348650977083456473872507 = 24 · 41 · 113 · 287801 · Z188 bekannt (Stand: 10. August 2016).[1]

Die Kette mit der Startzahl 660 ist bis zu s971(660) = 111551525152069570255156656614523512571233811729782821940399477322584269136382625190103459801758648077714142042933239896124691389224334380121209671436032770054737557024474597932536720122933111985568 = 25 · 2069 · Z193 bekannt (Stand: 10. August 2016).[1]

Die Kette mit der Startzahl 966 ist bis zu s948(966) = 654406883647157619408535126797279198487007623199425493973126128852434012377913068640069185699053986605972772743797987077955778675468256863921633929424772992583102493385053670977071039704 = 23 · 3 · 232 · Z182 bekannt (Stand: 10. August 2016).[1]

Außerdem gibt es im Intervall [1, 10000] zurzeit 81 offene Ketten, im Intervall [1, 100000] genau 898 und im Intervall [1, 106] genau 9190 offene Ketten (Stand: 29. Mai 2016). Für diese Ketten hat sich keine Bezeichnung durchgesetzt.[2]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b c d e Paul Zimmermann: Aliquot sequences 276, 552, 564, 660, 996, 1074 and 1134. Wolfram MathWorld, abgerufen am 10. August 2016.
  2. Wolfgang Creyaufmüller: Primzahlfamilien - aliquot sequences. Abgerufen am 29. Mai 2016.