Inhaltskette

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Unter einer Inhaltskette (auch Aliquot-Folge von engl. aliquot sequence) versteht man eine Folge positiver ganzer Zahlen, in der jede der Zahleninhalt (die Summe der echten Teiler) ihres Vorgängers ist.

Formale Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Inhaltskette mit dem Startwert n oder Inhaltskette von n ist die Folge

wobei mit der Teilersumme .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Natürliche Zahlen, die über Inhaltsketten auf die gleiche Primzahl (abgesehen von der 0 und 1) führen, bilden eine Primzahlfamilie (engl. prime family), kurz auch P-Familie (engl. p-family) genannt. Eine Ringfamilie (engl. cycle family), kurz auch R-Familie genannt (engl. c-family), terminiert in einem Ring vollkommener, befreundeter oder geselliger Zahlen.

Die Catalan-Dickson-Vermutung (benannt nach Eugène Charles Catalan und Leonard Eugene Dickson) besagt, dass jede Inhaltskette periodisch wird oder mit 0 endet. Sie ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt.

Die Längen der Inhaltsketten für n = 1, 2, ... ausgenommen vom Startwert, sind 1, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 4, 2, 7, 2, 5, 5, 6, 2, ... (Folge A044050 in OEIS).

Die Inhaltsketten von 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, ... (Folge A080907 in OEIS) terminieren in der 0.

Die Inhaltsketten von 25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, ... (Folge A063769 in OEIS) terminieren in einer perfekten Zahl.

Perfekte Zahlen terminieren ebenfalls in einer perfekten Zahl, nämlich sich selbst (weil sie so definiert sind).

Die Inhaltsketten von 220, 284, 562, 1064, 1184, 1188, 1210, 1308, 1336, 1380, ... (Folge A121507 in OEIS) terminieren in einem Zykel mit einer Länge von mindestens 2 (man sagt auch „Kette der Ordnung (von) mindestens 2“).

Befreundete Zahlen terminieren in einem Zykel mit einer Länge von 2 (weil sie so definiert sind).

Gesellige Zahlen terminieren in einem Zykel der Länge 3 oder größer (weil sie so definiert sind).

Inhaltsketten können beispielsweise in der factoring database generiert werden.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel 1:

Die Inhaltskette von 10 ist (10, 8, 7, 1, 0) und terminiert in der 0:

s(10) = 5 + 2 + 1 = 8
s(8) = 4 + 2 + 1 = 7
s(7) = 1
s(1) = 0

Beispiel 2:

Die Inhaltskette von 95 ist (95, 25, 6, 6,...) und terminiert in der perfekten Zahl 6:

s(95) = 19 + 5 + 1 = 25
s(25) = 5 + 1 = 6
s(6) = 3 + 2 + 1 = 6
s(6) = 3 + 2 + 1 = 6
...

Beispiel 3:

Die Inhaltskette von 220 ist (220, 284, 220, 284, 220,...) und terminiert in einem Zykel mit einer Länge von 2 (220 und 284 sind befreundete Zahlen):

s(220) = 110 + 55 + 44 + 22 + 20 + 11 + 10 + 5 + 4 + 2 + 1 = 284
s(284) = 142 + 71 + 4 + 2 + 1 = 220
s(220) = 110 + 55 + 44 + 22 + 20 + 11 + 10 + 5 + 4 + 2 + 1 = 284
s(284) = 142 + 71 + 4 + 2 + 1 = 220
...

Beispiel 4:

Die Inhaltskette von 12496 ist (12496, 14288, 15472, 14536, 14264, 12496,...) und terminiert in einem Zykel mit einer Länge von 5 (diese 5 Zahlen sind gesellige Zahlen):

s(12496) = 6248 + 3124 + 1562 + 1136 + 781 + 568 + 284 + 176 + 142 + 88 + 71 + 44 + 22 + 16 + 11 + 8 + 4 + 2 + 1 = 14288
s(14288) = 7144 + 3572 + 1786 + 893 + 752 + 376 + 304 + 188 + 152 + 94 + 76 + 47 + 38 + 19 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 15472
s(15472) = 7736 + 3868 + 1934 + 967 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 14536
s(14536) = 7268 + 3634 + 1817 + 632 + 316 + 184 + 158 + 92 + 79 + 46 + 23 + 8 + 4 + 2 + 1 = 14264
s(14264) = 7132 + 3566 + 1783 + 8 + 4 + 2 + 1 = 12496
...

Beispiel 5:

Die Inhaltskette von 14316 ist (14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716, 14316,...) und terminiert in einem Zykel mit einer Länge von 28 (diese 28 Zahlen sind somit ebenfalls gesellige Zahlen).

Lehmer-Six und -Five[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die ersten sechs offenen (nicht vollständig berechneten) Ketten im Intervall [1, 1000] wurden nach dem Ehepaar Derrick Lehmer und Emma Lehmer Lehmer-Six genannt. Ihre Startzahlen waren 276, 552, 564, 660, 840 und 966.

Die Kette mit der Startzahl 840 ist nun vollständig bekannt. Sie terminiert in der Primzahl 601, gefolgt von 1 und 0. Die restlichen 5 offenen Ketten werden nun Lehmer-Five genannt. Den aktuellen Stand kann man der folgenden Tabelle entnehmen (Stand: 10. August 2017)[1]:

Start-
zahl
berechnet
bis
Index
Anzahl
der Stellen
noch nicht vollständig faktorisierte Inhaltsnummer
bisher bekannte Faktorisierung, Restfaktor hat … Stellen
276 2090 208 1247650127029465108962068379955472803096528100594249180496228095274337112037817306231908069699728542249870132992902699369773658362397559208269397886703692788438762387659567116287140539612424782286670058019462
mit einem 206-stelligen Restfaktor
552 1135 193 1825408737500543940514743332095912281953825119105225521269397010518932092510842682189858144174620871425737440574437302798678664917689414491520878586084821328409755211470627913982746314926215804
mit einem 182-stelligen Restfaktor
564 3463 199 2032658982568541401672914570723585954976620117481134564991088037009624638927943387989353232243483260158155631179822774476501791576030932397379925354393561334767522221805318663486509770834564738725072
mit einem 188-stelligen Restfaktor
660 971 198 111551525152069570255156656614523512571233811729782821940399477322584269136382625190103459801758648077714142042933239896124691389224334380121209671436032770054737557024474597932536720122933111985568
mit einem 193-stelligen Restfaktor
966 975 194 11298973110548660032823709908820442135222495249689808325428830031797441771525421468653440644769622852047781710846977933193174351735036832739627203333539565295551411169085778616514825004213377064
mit einem 172-stelligen Restfaktor

Im Intervall [1, 10000] gibt es zurzeit 81 offene Ketten, im Intervall [1, 100000] genau 898 und im Intervall [1, 106] genau 9190 offene Ketten (Stand: 29. Mai 2016). Für diese Ketten hat sich keine Bezeichnung durchgesetzt.[2]

Galerie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die meisten Inhaltsketten enden in einer Primzahl. Die Menge aller natürlichen Zahlen, deren Inhaltsketten in derselben Primzahl enden, bilden eine Primzahlfamilie oder kurz Familie. Die folgende Galerie zeigt ein paar solcher Familien. Natürlich können nicht alle Zahlen darauf abgebildet werden, die in ein- und derselben Primzahl enden. Im ersten Bild werden alle Zahlen ≤ 10000 gezeigt, deren Inhaltsketten in der Primzahl 3 enden. Im zweiten Bild sieht man nur noch alle Zahlen ≤ 1000, deren Inhaltsketten in der Primzahl 3 enden. Es folgen noch die Familien 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41 und 43.

Es folgen ein paar Grafiken, denen man entnehmen kann, wie sehr Inhaltsketten anwachsen können. Die meisten Inhaltsketten terminieren, also enden in der 0, in einer perfekten Zahl oder in einem Zykel. Es gibt aber auch Inhaltsketten, die noch nicht vollständig berechnet wurden, weil Zahlen mit über 200 Stellen auftauchen, deren Primfaktoren man (noch) nicht berechnet hat (bzw. wegen ihrer Größe noch nicht berechnen konnte). Diese Inhaltsketten nennt man Offenendketten (OE-Ketten - niemand weiß, ob diese Ketten unendlich anwachsen, oder vielleicht doch irgendwann in der 0, in einer perfekten Zahl oder in einem Zykel terminieren). Auf der x-Achse erkennt man, bis wohin diese Ketten schon berechnet wurden (die Werte dazwischen nennt man Inhaltsnummer, beginnend mit 0), der y-Achse kann man entnehmen, wie viele Stellen diese Inhaltsnummer hat.

Im ersten Bild sieht man die fünf OE-Inhaltsketten der Lehmer-Five (276, 552, 564, 660 und 966) zusammen in einer Grafik. In Bild 2 bis 6 sieht man die fünf OE-Inhaltsketten der Lehmer-Five einzeln.

Es folgt die OE-Inhaltskette von 1578, welche an der 1868. Stelle den bisherigen Rekord-Tiefstwert 56440 (also nur noch eine 5-stellige Zahl) erreicht und danach wieder sehr groß wird.

Danach folgt die OE-Inhaltskette von 2340, welche die bis dato höchste Stellenanzahl bei OE-Inhaltsketten aufweisen kann (an der 790. Stelle erhält man eine 216-stellige Zahl, die man noch nicht faktorisieren kann).

Es folgt die längste bekannte OE-Inhaltskette, nämlich von 314718, von welcher man die Kette schon bis zur 18975. Stelle berechnet und noch immer kein Ende erreicht hat. An dieser Stelle muss man eine 203-stellige Zahl faktorisieren, man hat es aber noch nicht geschafft. Allerdings mündet diese Kette an der 6460. Stelle in der 5-stelligen Zahl 16100, welche natürlich für sich gesehen eine eigene OE-Inhaltskette hat. Weil die OE-Inhaltskette von 16100 wegen ihrer Größe vor der Inhaltskette von 314718 berechnet wurde und somit Priorität hat, spricht man bei 314718 von einer Seitenkette, da sie eigentlich nichts Neues hervorbringt.

Zuletzt folgt noch die längste bekannte eigentliche OE-Inhaltskette, nämlich von 933436, von welcher man die Kette schon bis zur 12561. Stelle berechnet und ebenfalls noch kein Ende erreicht hat. An dieser Stelle muss man eine 186-stellige Zahl faktorisieren.

Die nächsten vier Grafiken zeigen spezielle Inhaltsketten, die in einer Primzahl terminieren (und danach natürlich in 1 und dann in 0 enden).

Zuerst sieht man die Inhaltskette von 840, die lange Zeit ungelöst war und deswegen bei den Lehmer-Six dabei ist, aber mittlerweile durchgerechnet wurde. Die Kette terminiert an der 746. Stelle in der Primzahl 601 und endet somit an der 748. Stelle in der 0.

Die nächste Inhaltskette ist von der Zahl 19410. Diese Kette beginnt sehr stark ansteigend und hat schon an der 244. Stelle eine 86-stellige Zahl. Danach werden die Zahlen aber wieder schnell kleiner und die Kette terminiert an der 2200. Stelle in der Primzahl 43.

Bild 3 zeigt die Inhaltskette von 407856. Diese Inhaltskette erreicht das bis dato höchste Maximum, also die höchste Stellenanzahl aller bisher bekannten terminierenden Inhaltsketten. An der 955. Stelle erreicht sie die größte 128-stellige Zahl, die bisher faktorisiert werden konnte und an der 2181. Stelle terminiert sie in der Primzahl 41. Von keiner anderen terminierenden Inhaltskette hat man einen höheren Wert gefunden und faktorisieren können.

Grafik 4 zeigt die Inhaltskette von 414288. Diese Inhaltskette ist die momentan längste Kette, die terminiert. Sie erreicht ihren Höhepunkt an der 5964. Stelle in einer 92-stelligen Zahl und terminiert an der 6584. Stelle in der Primzahl 601. Keine andere Kette ist momentan länger (und bekannt), die keine OE-Kette ist.

Zuletzt kommen noch ein paar Inhaltsketten, die in einer perfekten Zahl oder einem Zykel enden. Da momentan nur eher kurze Inhaltsketten mit einer solchen Eigenschaft bekannt sind, wird auch die Stellenanzahl nicht besonders hoch und unterscheidet sich somit kaum voneinander. Damit man doch einen passablen Graph erhält, wählt man auf der y-Achse statt der Stellenanzahl den Zehnerlogarithmus der Inhaltsnummer, der aufgerundet immer die Stellenanzahl ergibt.

Die Inhaltskette von 19362 terminiert an der 249. Stelle in der perfekten Zahl 8128.

Danach sieht man die Inhaltskette von 976950, die an der 177. Stelle in der perfekten Zahl 6 terminiert.

Die nächsten Inhaltsketten terminieren in einem Zykel.

Zuerst sieht man die Inhaltskette von 2856, welche an der 41. Stelle in der Zahl 14316 mündet und ab da in einen 28er-Zykel übergeht (siehe obiges Beispiel 5).

Danach kommt die Inhaltskette von 9038, welche schon an der 4. Stelle in der Zahl 1184 mündet und ab da in den 2er-Zykel 1184/1210 übergeht.

Es folgt die Inhaltskette von 17490, welche an der 228. Stelle in der Zahl 1264460 mündet und ab da in einen 4er-Zykel übergeht (1264460/1547860/1727636/1305184).

Die nächste Inhaltskette ist von 18922, welche schon an der 2. Stelle in der Zahl 12496 mündet und ab da in einen 5er-Zykel übergeht (siehe obiges Beispiel 4).

Zuletzt sieht man noch die Inhaltskette von 980460, welche an der 101. Stelle in der Zahl 2924 mündet und danach in den 2er-Zykel 2924/2620 übergeht. Diese Inhaltskette dient als Beispiel dafür, dass natürlich auch Ketten mit 2er-Zykel länger sein können.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Paul Zimmermann: Aliquot sequences 276, 552, 564, 660, 996, 1074 and 1134. Wolfram MathWorld, abgerufen am 10. August 2017.
  2. Wolfgang Creyaufmüller: Primzahlfamilien - aliquot sequences. Abgerufen am 29. Mai 2016.