Integralkurve

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Eine Integralkurve bezeichnet in der Mathematik im Bereich der Differentialtopologie eine auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit definierte Kurve, die in enger Beziehung zu einem gegebenen glatten Vektorfeld auf dieser Mannigfaltigkeit steht. So stellen beispielsweise elektrische Feldlinien Integralkurven des zugehörigen elektrischen Vektorfeldes dar. Anschaulich bewegt sich ein kleiner Styroporball im Idealfall auf Integralkurven des Vektorfeldes, das etwa von der Strömung eines Flusses vorgegeben wird.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Integralkurven eines Vektorfeldes auf der zweidimensionalen Einheitssphäre

Sei ein glattes Vektorfeld auf einer Mannigfaltigkeit der Dimension und ein beliebiger Punkt. Dann heißt eine glatte Kurve auf einem offenen Intervall mit Integralkurve von durch , wenn

Oder mit anderen Worten: Der Tangentialvektor von ist an jeder Stelle identisch mit dem durch gegebenen Vektor an dieser Stelle.

Existenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In lokalen Koordinaten reduziert sich das Problem auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen:

wobei und die glatte Funktionen auf sind. Zusammen mit der Randbedingung handelt es sich also um ein klassisches Anfangswertproblem und der Satz von Picard-Lindelöf garantiert somit eine eindeutige Lösung in einer Umgebung von . Da man Lösungen von Differentialgleichungen auch oft 'Integrale' nennt, liegt hier der Begriff 'Integralkurve' nahe.

Lokaler Fluss[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu jedem glatten Vektorfeld gibt es einen eindeutig bestimmten maximalen lokalen Fluss

mit dem Definitionsbereich

.

Dabei ist die eindeutig bestimmte maximale Integralkurve mit und für alle .[1] Ist die Mannigfaltigkeit kompakt, dann ist der Fluss global, das heißt, es gilt für alle und .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Theodor Bröcker, Klaus Jänich: Einführung in die Differentialtopologie. Springer, Berlin 1973, ISBN 3-540-06461-3, § 8. Dynamische Systeme.
  • John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds. (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer Verlag, New York NY u. a. 2002, ISBN 0-387-95448-1.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S. 249.