Gewöhnliche Differentialgleichung

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Eine gewöhnliche Differentialgleichung (oft abgekürzt mit GDGL oder ODE, englisch ordinary differential equation) ist eine Differentialgleichung, bei der zu einer gesuchten Funktion nur Ableitungen nach genau einer Variablen auftreten.

Die meisten dynamischen Vorgänge in unserer realen Welt wie Bewegung, Zerfall, Änderung usw. können als ein mathematisches Modell oder als ein dynamisches System mit mindestens einem Eingang und mindestens einem Ausgang durch eine Differentialgleichung definiert werden. Alternativ kann das Modell je nach Aufgabenstellung anstelle eines Systemeingangs durch Anfangswerte (Anfangswertproblem) oder Randwerte (Randwertproblem) bestimmt werden.

Viele physikalische, chemische und biologische Vorgänge in der Natur lassen sich mit solchen Gleichungen mathematisch beschreiben, z. B. der radioaktive Zerfall, Bewegungsvorgänge von Körpern, viele Arten von Schwingungsvorgängen oder das Wachstumsverhalten von Tier-Populationen. In naturwissenschaftlichen Modellen werden gewöhnliche Differentialgleichungen daher häufig eingesetzt, um solche Vorgänge zu analysieren, zu simulieren oder um Vorhersagen abgeben zu können.

Es werden einige Beispiele mit verschiedenen Verfahren zur Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten gezeigt.

Nicht alle Differentialgleichungen von Modellen sind analytisch lösbar. Jedoch kann häufig mittels der numerischen Mathematik eine gute Annäherung an die analytische Funktion erreicht werden.

Inhaltsverzeichnis

Herkunft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Differentialgleichungen werden oft benötigt, um Vorgänge in der Natur zu beschreiben, bei denen das Änderungsverhalten von Größen verglichen wird.

Die ersten Differentialgleichungen waren die der gleichmäßigen und gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Im Jahr 1590 erkannte Galileo Galilei den Zusammenhang zwischen der Fallzeit eines Körpers und seiner Fallgeschwindigkeit sowie dem Fallweg und formulierte (noch) mit geometrischen Mitteln das Gesetz des freien Falles.

Als Isaac Newton auch Bewegungen mit Reibungen betrachtete, die zum Betrag oder zum Quadrat der Geschwindigkeit proportional sind, war er genötigt, die Differentialrechnung und den heute geläufigen Formalismus der Differentialgleichungen einzuführen.

Durch die exakte Formulierung des Grenzwertbegriffes, der Ableitung und des Integrals stellte schließlich Augustin Louis Cauchy im 19. Jahrhundert die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen auf ein festes Fundament und machte sie somit vielen Wissenschaften zugänglich.

Das wissenschaftliche Interesse an Differentialgleichungen ist im Wesentlichen darin begründet, dass mit ihnen auf Grund vergleichsweise einfacher Beobachtungen und Experimente vollständige Modelle geschaffen werden können.

Nur wenige Typen von Differentialgleichungen lassen sich analytisch lösen. Trotzdem lassen sich qualitative Aussagen wie Stabilität, Periodizität oder Bifurkation auch dann treffen, wenn die Differentialgleichung nicht explizit gelöst werden kann. Eines der wichtigsten Hilfsmittel für skalare Differentialgleichungen sind Argumente mittels eines Vergleichssatzes.

Allgemeine Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und eine stetige Funktion. Dann heißt

ein gewöhnliches Differentialgleichungssystem -ter Ordnung von Gleichungen ( ist hier die unabhängige Variable, usw.). Im Fall nennt man dies eine gewöhnliche Differentialgleichung -ter Ordnung.

Ihre Lösungen sind -mal differenzierbare Funktionen , welche die Differentialgleichung auf einem zu bestimmenden Intervall erfüllen. Sucht man eine spezielle Lösung, welche zu gegebenen und zusätzlich

erfüllt, so bezeichnet man dies als Anfangswertproblem.

Kann die Differentialgleichung nach der höchsten vorkommenden Ableitung aufgelöst werden und hat somit die Form

so heißt sie explizit, andernfalls implizit; siehe auch Satz von der impliziten Funktion.

Existenz und Eindeutigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ob überhaupt eine Lösung existiert, lässt sich anhand einiger Kriterien erkennen. Die Differentialgleichung selbst reicht im Allgemeinen nicht aus, um die Lösung eindeutig zu bestimmen.

Beispielsweise ist der grundsätzliche Bewegungsablauf aller schwingenden Pendel gleich und kann durch eine einzige Differentialgleichung beschrieben werden. Der konkrete Bewegungsablauf ist jedoch durch die Rand- oder Anfangsbedingung(en) (wann wurde das Pendel angestoßen, und wie groß ist die Anfangsauslenkung) bestimmt.

Die lokale Lösbarkeit von Anfangswertproblemen bei gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung wird durch den Satz von Picard-Lindelöf und den Satz von Peano beschrieben. Aus der Existenz einer lokalen Lösung kann man in einem zweiten Schritt auf die Existenz einer nicht-fortsetzbaren Lösung schließen. Mit Hilfe des Satzes vom maximalen Existenzintervall kann man darauf aufbauend von dieser nicht-fortsetzbaren Lösung dann gelegentlich Globalität nachweisen. Die Eindeutigkeit bekommt man als Anwendung der grönwallschen Ungleichung.

Reduktion von Gleichungen höherer Ordnung auf Systeme erster Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung lassen sich immer auf ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung zurückführen. Hat eine gewöhnliche Differentialgleichung die Ordnung , so führt man dazu die voneinander abhängigen Funktionen ein:

Aus der expliziten Differentialgleichung -ter Ordnung für wird dabei:

Man erhält also ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung:

.

Umgekehrt kann man aus manchen Differentialgleichungssystemen eine einzige Differentialgleichung höherer Ordnung ableiten.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dieses besagt, dass bei einer Menge instabiler Atome die Anzahl der zerfallenden Atome von der gesamten Anzahl der vorhandenen Atome proportional abhängt.
  • Eine wichtige Klasse weiterer Differentialgleichungen bilden die newtonschen Bewegungsgleichungen:
Durch die Kenntnis der von der Zeit und der Position eines Teilchens abhängenden Kraft treffen diese Gleichungen Aussagen über die Bewegung des Teilchens selbst.
  • Neben einfachen Zusammenhängen der Änderungen einer einzelnen Größe lassen sich aber auch Vorhersagen über mehrere Größen in einem System treffen. In etwa die Lotka-Volterra-Gleichungen der Ökologie:
Dieses System beschreibt die zeitliche Veränderung der Räuberpopulation und der Beutepopulation bei konstanten natürlichen Geburtenraten und Sterberaten . Einige wichtige Eigenschaften dieses Modells lassen sich in Form der sogenannten Lotka-Volterra-Regeln zusammenfassen. Dieses und ähnliche Systeme finden in der theoretischen Biologie auch zur Beschreibung von Ausbreitungsprozessen und in Epidemiemodellen breite Anwendung.

Spezielle Typen von Differentialgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Den bekanntesten Typ der gewöhnlichen Differentialgleichungen bildet die lineare Differentialgleichung -ter Ordnung mit:

für stetige .

Weitere wichtige Typen von gewöhnlichen Differentialgleichungen sind die folgenden:

.
mit .
, worin das Vektorfeld eine Potentialfunktion besitzt.
.
für stetige und .
.
.

Autonome Systeme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Differentialgleichungssystem heißt autonom, falls es von der Form

ist.

Sei linear beschränkt und Lipschitz-stetig. Es bezeichne die (eindeutig bestimmte globale) Lösung von

Dann nennt man den Fluss der Differentialgleichung , und bildet dann ein dynamisches System.

Von besonderem Interesse ist der Fall der ebenen autonomen Systeme. Mit Hilfe des Satzes von Poincaré-Bendixson kann man oft die Existenz periodischer Lösungen nachweisen. Ein wichtiges ebenes autonomes System bildet das Lotka-Volterra-Modell.

Da die Poincaré-Bendixson-Theorie zentral auf den jordanschen Kurvensatz aufbaut, sind höherdimensionale Analoga falsch. Insbesondere ist es sehr schwierig, periodische Lösungen höherdimensionaler autonomer Systeme zu finden.

Anwendung verschiedener Lösungsverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Grundlagen der Differentialgleichungen für die Systembeschreibung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch gewöhnliche Differenzialgleichungen lassen sich viele dynamische Systeme aus der Technik, Natur und Gesellschaft beschreiben. Viele auf den ersten Blick sehr verschiedene physikalische Probleme lassen sich mit der GDGL jedoch formal identisch darstellen.

Eine Differenzialgleichung (kurz DGL) ist eine Gleichung, die eine oder mehrere Ableitungen einer unbekannten Funktion enthält. Kommen Ableitungen nur bezüglich einer Variablen vor, spricht man von „gewöhnlichen Differenzialgleichungen“ (kurz GDGL). Diese abhängige Variable wird in der Systemtheorie der GDGL mit oder bezeichnet, dabei sind oder die unabhängigen Variablen.

Enthält eine Differentialgleichung mehrere abhängige Variablen, so handelt es sich um eine partielle Differentialgleichung.

Differentialgleichungen werden in vielen Anwendungen als mathematische Modelle physikalischer und anderer Systeme definiert. Sie beschreiben in der Praxis häufig dynamische Systeme mit einem oder mehreren Signaleingängen und einem oder mehreren Signalausgängen. Solche GDGL werden als inhomogen bezeichnet.

Ein dynamisches System ist eine Funktionseinheit zur Verarbeitung und Übertragung von Signalen, wobei die Systemeingangsgröße als Ursache und die Systemausgangsgröße als Folge des zeitlichen Übertragungsverhaltens des Systems definiert ist. oder wird auch als Störfunktion bezeichnet.

Dynamische Systeme werden durch GDGL beschrieben. Dazu werden für sämtliche Energiespeicher des Systems die zugehörigen Bilanzgleichungen benötigt, die durch eine Differenzialgleichung erster Ordnung beschrieben werden. Für jeden konzentrierten Energiespeicher entsteht eine Differenzialgleichung erster Ordnung.

Einige Beispiele von GDGL haben die Formen: [1]

.

Dabei ist die abhängige und die unabhängige Variable. sind hier konstante Koeffizienten.

Ein dynamisches System verhält sich linear, wenn die Wirkungen zweier linear überlagerter Eingangssignale sich am Ausgang des Systems in gleicher Weise linear überlagern.

Eine lineare inhomogene GDGL erster Ordnung eines dynamischen Systems mit einem Signaleingang und einem Signalausgang hat die Form:

.

Hier ist die abhängige Variable und ein zeitabhängiger Koeffizient. ist die Störfunktion und Ursache der Inhomogenität der GDGL.

Die homogene Form einer linearen GDGL erster Ordnung in expliziter Darstellung lautet:

Dabei ist die Eingangsgröße (Störfunktion) gleich Null. ist eine Konstante.

Bei der expliziten Darstellung ist die Ableitung von einem Koeffizienten freigestellt worden. Die Lösung dieser GDGL ist die Funktion von .

Eine lineare GDGL enthält die gesuchte Funktion und deren Ableitungen nur in der ersten Potenz. Es dürfen keine Produkte der gesuchten Funktion und ihren Ableitungen auftreten. Die gesuchte Funktion darf auch nicht in Argumenten von Winkelfunktionen, Logarithmen usw. erscheinen.

Die Eingangsgröße wird in der Mathematik - im Gegensatz zur Systemtheorie - häufig als Störfunktion oder Störglied bezeichnet. Fehlt das Störglied , so handelt es sich um eine homogene lineare GDGL, anderenfalls um eine lineare inhomogene GDGL.

Differentialgleichungen höherer Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine GDGL 2. Ordnung ist eine Erweiterung der GDGL 1. Ordnung. Die inhomogene GDGL mit variablen Koeffizienten und der Eingangsgröße (Störfunktion) lautet:

.

Die homogene Lösung dieser GDGL 2. Ordnung lautet:

.

Ein Spezialfall ist die inhomogene lineare GDGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten:

Die GDGL kann in impliziter oder expliziter Form dargestellt werden.

In der impliziten Form lässt sich eine GDGL n-ter Ordnung wie folgt beschreiben:

Ist die implizit dargestellte GDGL nach der höchsten Ableitung y(n) auflösbar, so ergibt sich die explizite Form:

Die allgemeine Form einer inhomogenen GDGL eines dynamischen Systems höherer Ordnung mit variablen Koeffizienten lautet:

.

Diese Form der GDGL enthält auch Ableitungen der Eingangsgröße, die aber keine Auswirkungen auf das Zeitverhalten haben, sondern nur auf die Größe der Ausgangs-Amplituden. Weil diese Gleichung mit zeitabhängigen Koeffizienten und seltener in der Praxis vorkommt und nur schwierig zu lösen ist, beschränkt man sich bei der Behandlung dynamischer Systeme auf eine GDGL mit konstanten Koeffizienten.

Die allgemeine Form einer linearen inhomogenen GDGL höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten der System-Ausgangsgröße und mit der System-Eingangsgröße lautet:

.

Diese GDGL ist zwar eine Spezialform von GDGL, wird aber im gesamten Bereich der Systemtheorie, der Elektrotechnik und der Regelungstechnik angewendet. Das Verhalten solcher Systeme wird als linear und zeitinvariant bezeichnet. Ein Übertragungssystem wird als zeitinvariant bezeichnet, wenn sich die Systemeigenschaften (d.h. die Parameter) mit der Zeit nicht verändern.

Eigenschaften der GDGL[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine gegebene GDGL stellt sich die Frage zu der Art:

  • Ist die Gleichung linear?
  • Sind die Koeffizienten konstant?
  • Welche Ordnung der Ableitungen hat die abhängige Variable?
  • Handelt es sich um eine homogene oder inhomogene GDGL?
  • Sind Anfangswerte oder Randwerte gegeben?

Aus der Mechanik existiert das bekannte Beispiel einer linearen GDGL zweiter Ordnung eines schwingfähigen Systems mit der Federkraft , Masse und Dämpfung . Dabei ist die Eingangsgröße: die Kraft , die Ausgangsgröße der Weg .

.

Sind Zahlenwerte gegeben, lautet die allgemeine Form dieser GDGL mit als Ausgangssignal und als Eingangssignal:

Anfangswertproblem und Randwertproblem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Befindet sich das dynamische System in Ruhe, d. h. die Anfangswerte der Energiespeicher sind zum Zeitpunkt gleich Null, dann ist der zeitliche Verlauf einer Sprungantwort des Systems abhängig vom Eingangssignals , der Größe der Koeffizienten , bzw. deren Nullstellen , ob der Systemausgang y(t) aperiodisch oder gedämpft schwingend das Niveau des Eingangssprungs erreicht. Die Größe des Eingangssignals und die Koeffizienten , bzw. deren Nullstellen (hier nicht vorhanden), des rechtsseitigen Teils der Differentialgleichung haben nur eine Auswirkung auf die Größe der Amplituden.

Bei der homogenen Form dieser GDGL ist die Eingangsgröße gleich Null. Bei der homogenen GDGL startet die Ausgangsgröße von gegebenen Anfangswerten der inneren Systemspeicher des Systems bis erreicht wird. Diese Form der homogenen GDGL mit Anfangswerten zum Zeitpunkt bezeichnet man als „Anfangswertproblem“.

Im Gegensatz dazu, kann eine GDGL als „Randwertproblem“ bezeichnet werden, wenn Lösungen zu gesucht werden, die von Randwerten an verschiedenen Stellen bestimmt werden. Ein bekanntes Beispiel ist die Berechnung einer Biegelinie eines Balkens, der von zwei Stützpunkten im Abstand bei gleichmäßig verteilter Last getragen wird.

Lösungsmethoden der GDGL[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die systembeschreibenden GDGL linearer zeitinvarianter Systeme können durch die nachfolgenden Verfahren berechnet werden:

Nichtlineare Differenzialgleichungen sind Unikate und können nur in sehr seltenen Ausnahmefällen analytisch gelöst werden. Wenn möglich, wird eine Linearisierung im Arbeitspunkt des Systems durchgeführt und es gelten die Bedingungen für die angelegte Tangente in der Nähe des Arbeitspunktes. Viele Anwendungen nichtlinearer Systeme können mittels der numerischen zeitdiskreten Methoden in Verbindung mit logischen Definitionen wie „WENN-DANN-SONST-Anweisungen“ annäherungsweise an die Originalfunktion gelöst werden. Eine nichtlineare Funktion kann auch tabellarisch definiert werden.

Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung mit Hilfe des Exponentialansatzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gesamtlösung einer inhomogenen GDGL[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein lineares dynamisches Übertragungssystem mit einem Eingangssignal und dem Ausgangssignal wird durch eine gewöhnliche inhomogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten beschrieben.

Die Lösung einer inhomogenen GDGL besteht aus der allgemeinen Lösung der homogenen GDGL und einer speziellen Lösung (partikuläre Lösung) der inhomogenen GDGL. Deshalb erfolgt das Lösungsverfahren der inhomogenen GDGL, unabhängig von der Ordnung, in zwei Stufen. Die Gesamtlösung ist die Summe der beiden Lösungen:

  • Die homogene Lösung der GDGL beschreibt das Systemverhalten mit Anfangswerten der Systemspeicher zum Zeitpunkt und dem Eingangssignal . Dies bedeutet für das dynamische System, es ist sich selbst überlassen und hat nur ein Ausgangssignal. Die homogene Lösung der GDGL ist Null, wenn alle Anfangsbedingungen von und deren Ableitungen Null sind.
  • Die partikuläre Lösung der GDGL beschreibt das Übertragungsverhalten von für als erzwungene Bewegung. Je nach Systemordnung müssen alle Anfangsbedingungen und deren Ableitungen Null sein.
Ist die Übertragungsfunktion als Laplace-transformierte GDGL gegeben, so ist die Berechnung des System-Ausgangssignals für ein gegebenes Eingangssignal bei Anwendung der inversen Laplace-Transformation immer eine partikuläre Lösung. Die partikuläre Lösung der GDGL ist in der Regelungstechnik meist von hauptsächlichem Interesse.

Mit Hilfe des Exponentialansatzes und der sich daraus ergebenden charakteristischen Gleichung lassen sich auch GDGL höherer Ordnung lösen. Dieser Exponentialansatz gilt als universelles Lösungsverfahren für homogene GDGL beliebiger Ordnungen mit konstanten Koeffizienten.

Hat eine GDGL die Ordnung n, so hat ihre Lösung n Integrationskonstanten. Dazu müssen n Anfangsbedingungen gegeben sein.

Folgender Exponentialansatz für liefert Ableitungen der Form: . Dabei bedeutet eine Nullstelle.

Die Ableitungen des Lösungsansatzes ergeben sich zu:

Werden diese Ableitungen in die oben stehende homogene GDGL eingesetzt, entsteht die charakteristische Gleichung als Polynom n-ter Ordnung:

Die homogene Lösung einer inhomogenen Differenzialgleichung lautet damit allgemein für den Fall reeller ungleicher Nullstellen λi:

Die Lösung einer GDGL erfolgt durch Integration. Jede Integration ergibt Integrationskonstanten , deren Anzahl durch die Ordnung der GDGL bestimmt ist. Die Lösung einer GDGL n-ter Ordnung enthält n voneinander unabhängige Integrationskonstanten. Diese sind für eine spezielle (partikuläre) Lösung der GDGL abhängig von den Eigenwerten und gegebenen Anfangsbedingungen des Übertragungssystems zu bestimmen.

Die Bestimmung der Integrationskonstanten bei Systemen höherer Ordnung (> 2) ist sehr umständlich. Weitere Informationen liefert die Fachliteratur.[2]

Anfangswertproblem und Integrationskonstanten für eine homogene GDGL 2. Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine homogene GDGL n-ter Ordnung hat mindestens einen Anfangswert bis n Anfangswerte. Für die homogene GDGL zweiter Ordnung mit zwei vorzugebenden Anfangswerten und können die Integrationskonstanten und errechnet werden, wenn die Wurzeln (Nullstellen) der homogen GDGL bekannt sind.

Die Integrationskonstanten und errechnen sich durch Vorgabe von Anfangswerten und , die anstelle von der Lösungsgleichung der homogenen GDGL 2. Ordnung eingesetzt werden. Damit ergeben sich zwei Gleichungen für die zwei Anfangswerte. Für wird die erste Gleichung für bestimmt. Für die zweite Gleichung mit wird erst die Ableitung der Gleichung und dann die Gleichung für errechnet.

Beispiel für eine homogene GDGL mit zwei reellen Wurzeln und und Anfangswerten der Energiespeicher ; :

Lösung der homogenen DGL 2. Ordnung:

Berechnung der Integrationskonstanten:

Aus den beiden Gleichungen von für und für lassen sich die Integrationskonstanten und bestimmen.

Anmerkung: Die Ableitung von

Tabelle: Durch die verschiedenen Arten der Lösungen der Wurzel, bedingt durch die Größe des Radikanden, ergeben sich drei unterschiedliche Fälle der Eigenwerte λ der GDGL wie:

Lösung der homogenen linearen Differenzialgleichung
2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Wurzeln (Nullstellen) Anfangswertproblem
Bestimmung C1, C2
Der Radikand > 0 hat 2 reelle Wurzeln

Der Radikand = 0 hat 2 gleiche Wurzeln

Der Radikand < 0 führt zu konjugiert komplexen Wurzeln



Berechnungsbeispiel der Lösung einer GDGL 2. Ordnung mit reellen Nullstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

* Homogene Lösung der GDGL einer Reihenschaltung von zwei PT1-Gliedern mit Anfangswerten.
* Partikuläre Lösung der GDGL für einen Eingangssprung.
Übertragungsfunktion eines dynamischen Systems bestehend aus zwei PT1-Gliedern

Zugehörige systembeschreibende GDGL:

Die höchste Ableitung freigestellt:

  • Vorgegeben: Willkürlich gewählte Anfangswerte der Energiespeicher (Integratoren): ; ;
  • Vorgegeben: Eingangsgröße ist eine normierte Sprungfunktion 1 für .
  • Gesucht: Homogene Lösung der GDGL und partikuläre Lösung :
Für die homogene Lösung wird gesetzt.
  • Errechnet laut der oben dargestellten Tabelle der homogenen Lösung:
Es ergeben sich zwei reelle Wurzeln (Nullstellen):
  • Errechnet: Die Integrationskonstanten errechnen sich laut Tabelle mit ; .
  • Analytische homogene Lösung laut Tabelle für zwei reelle Wurzeln:
daraus folgt:
Mit den eingesetzten Zahlenwerten lautet die analytische Lösung der homogenen GDGL:
  • Partikuläre Lösung:
Die Berechnung der Systemantwort des Eingangs-Ausgangsverhaltens über das Faltungsintegral ist aufwendig.
Einfacher ist die Lösung - wie nachfolgend dargestellt - durch die Anwendung der Laplace-Transformation.

Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung mittels der Übertragungsfunktion [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die allgemeine Form einer Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten der System-Ausgangsgröße und mit der System-Eingangsgröße lautet:

.

Durch Anwendung des Laplace-Differentiationssatzes einer GDGL für Anfangsbedingungen der System-Ausgangsgröße entstehen algebraische Gleichungen mit sogenannten Zähler- und Nennerpolynomen. ist die komplexe Laplace-Variable, die mit einem Exponenten anstelle der Ordnung einer Ableitung steht. Die Variable ist ein Symbol für eine vollzogene Laplace-Transformation. Sie enthält keine Zahlenwerte.

Laplace-transformierte Differentialgleichung mit Anfangswerten:

.

Die Übertragungsfunktion ist definiert als das Verhältnis des Ausgangssignals zum Eingangssignal , wobei die Anfangswerte des Systems gleich Null sind.

.

Die Berechnung des Zeitverhaltens eines Übertragungssystems aus der Übertragungsfunktion wird üblicherweise für normierte Eingangssignale durchgeführt. Zur Berechnung der Sprungantwort mit dem Eingangssignal wird der Übertragungsfunktion der Term multiplikativ angehängt. Wird letzteres nicht durchgeführt, erhält man an Stelle der Sprungantwort die Impulsantwort.

Übertragungsfunktion in Polynomdarstellung, Pol- Nullstellendarstellung und Zeitkonstantendarstellung:

Die Lösung erfolgt durch Partialbruch-Zerlegung der Produktdarstellung in einfache additive Terme, die sich leicht in den Zeitbereich transformieren lassen. Die Partialbruch-Zerlegung von Übertragungsfunktionen höherer Ordnung ist nicht immer einfach, insbesondere wenn konjugiert komplexe Nullstellen vorliegen.

Alternativ können Laplace-Transformationstabellen benutzt werden, welche die häufigsten korrespondierenden Gleichungen im Zeitbereich enthalten.

Allgemeine (partikuläre) Lösung der GDGL 2. Ordnung mit Hilfe der Laplace-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die partikuläre Lösung beschreibt das Übertragungsverhalten des Systems als Funktion des Eingangssignals und ist meist von hauptsächlichem Interesse. Die Anfangsbedingungen und haben dabei den Wert 0.[3]

Eine mögliche partikuläre Lösung der GDGL kann über das Faltungsintegral erfolgen. Die Berechnung des Faltungsintegrals ist für Systeme höherer Ordnung jedoch aufwendig. Die Zeitfunktionen und können sehr kompliziert werden. Deshalb gestaltet sich der partikuläre Lösungsweg der GDGL über die Laplace-Transformation mit anschließender Rücktransformation einfacher.

Lösung der gegebenen GDGL 2. Ordnung:

.

Die Gleichung wird so umgeformt, dass der Koeffizient der höchsten Ableitung wird, indem die restlichen Terme der Gleichung durch dividiert wird und die Bezeichnung der übrigen Koeffizienten beibehalten wird. Wenn Zahlenwerte vorgelegen haben, dann entsprechen die Koeffizienten neuen um korrigierten Zahlenwerten.

.

Die Übertragungsfunktion eines Systems entsteht nach dem Differentiationssatz durch Austausch der zeitabhängigen Terme einer GDGL mit den Laplace-Transformierten. Voraussetzung ist, dass die Anfangsbedingung des Systems Null ist. Je nach Grad der Ableitungen einer Funktion y(t) entstehen nach der Transformation folgende Laplace-Transformierte Y(s):

Mit den transformierten Termen kann die Übertragungsfunktion des dynamischen Systems G(s) aufgestellt werden:

Polynome einer Übertragungsfunktion werden durch Nullstellenbestimmungen in Linearfaktoren (Grundpolynome: Monom, Binom und Trinom) zerlegt. Liegen Zahlenwerte der Koeffizienten einer Übertragungsfunktion 2. Ordnung vor, können die Pole (= Nullstellen im Nenner der Übertragungsfunktion) durch die bekannte Formel zur Lösung einer gemischt-quadratischen Gleichung ermittelt werden.

Durch die verschiedenen Arten der Lösungen der Pole bedingt durch die Größe des Radikanden der Wurzel ergeben sich drei unterschiedliche Fälle der Eigenwerte (der Pole ) der Übertragungsfunktion. Nachfolgend ist eine Korrespondenztabelle des s-Bereichs mit und des Zeitbereichs für für einen transformierten Eingangssprung .

Folgende Grundpolynome (Binome und Trinome bei konjugiert komplexen Polen) entstehen in Abhängigkeit von den Nullstellen. Die Lösungen der Übertragungsfunktionen als Sprungantwort im Zeitbereich sind einer Laplace-Transformationstabelle entnommen worden:

Die Laplace-Transformationstabellen können in zwei Formen der Produkt-Darstellung aufgeführt sein, wobei unterschiedliche Faktoren a0 und K berücksichtigt werden müssen. Die Umrechnung der Pole- Nullstellen-Darstellung in Zeitkonstanten-Darstellung ist einfach, sie sind algebraisch identisch. .

Pol-Nullstellen-Darstellung (Stabiles System) und Zeitkonstanten-Darstellung:

f(s)
Übertragungsfunktion 2. Ordnung
Eingangssprung u(t) = 1 := Multiplikation mit 1/s
f(t)
Partikuläre Lösung
Sprungantwort im Zeitbereich
Bestimmung der Pole und
aus der Polynom-Darstellung
Der Radikand > 0 hat 2 reelle Wurzeln



Der Radikand = 0 hat 2 gleiche Wurzeln

Der Radikand < 0 hat konjugiert komplexe Wurzeln



ω0 = Kreisfrequenz (ungedämpft) = 1 / T




Dämpfung D




Wird für den Fall der zwei reellen Wurzeln in die Gleichung für eingesetzt, entsteht eine Division durch Null , was nicht zulässig ist. Als „verschiedene“ Nullstellen gelten bereits Nullstellen, wenn sie sich in einer theoretisch unendlichen Dezimalstelle eines Wertes unterscheiden.

Die Gesamtlösung einer GDGL ergibt sich aus der Überlagerung der Systemantworten auf die Anfangsbedingungen und auf das Eingangssignal:

Die partikuläre Lösung der GDGL bezieht sich darauf, dass die Anfangswerte gleich Null sind und das Eingangssignal ist. Sie lässt sich aus der Übertragungsfunktion bestimmen, indem die Differentialgleichung einer Laplace-Transformation unterzogen wird.

Berechnungsbeispiel der partikulären Lösung einer GDGL 2. Ordnung mit der Laplace-Transformationstabelle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Vorgegeben:
Eingangssignal: Sprungfunktion .
Übertragungsfunktion des Systems:
Gesucht: Partikuläre Lösung für die gegebene Übertragungsfunktion:
Suchbegriff für die Laplace-Transformationstabelle:
  • Errechnet:
Die gefundene analytische Gleichung der partikulären Lösung laut Transformationstabelle durch Eingabe der Koeffizienten lautet:
.
Zahlenwerte der Zeitkonstanten eingesetzt:
.

Grafische Darstellung der partikulären Lösung siehe letztes Bild.

Anmerkung: Enthält die Ausgangsgröße eines Übertragungssystems Schwingungsanteile, ergeben sich laut Transformationstabellen aufwendige trigonometrische Gleichungen.

Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung mittels der numerischen Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Grundlagen der numerischen Berechnung mit Differenzengleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine gewöhnliche Differentialgleichung, die ein dynamisches System mit einem Eingangssignal und einem Ausgangssignal beschreibt, wird in eine Differenzengleichung umgeformt, indem die Differentialquotienten der GDGL durch Differenzenquotienten ausgetauscht werden. Dazu existieren zahlreiche Verfahren der numerischen Mathematik.

Die kontinuierlichen mathematischen Operationen der Integration und Differentiation der Differentialgleichungen werden bei Differenzengleichungen diskret durch Summen- und Differenzenbildung angenähert.

Eine Differenzengleichung ist eine numerisch lösbare Berechnungsvorschrift für eine diskret definierte Folge von Folgegleichungen, welche Variablen zu fortlaufenden nummerierten Ereignissen bzw. nummerierten Zeitpunkten im Abstand eines Intervalls berechnen.

Die rekursive Lösung einer Differenzengleichung erster Ordnung erfolgt von einer Anfangsbedingung durch nummerierte Folgegleichungen, welche sich je auf das Ergebnis einer zurückliegenden Folgegleichung bezieht. Bei Differenzengleichungen höherer Ordnung bezieht sich jede aktuelle Folgegleichung, entsprechend der Ordnungszahl, auf mehrere der zurückliegenden Folgegleichungen.

Das Lösungsergebnis besteht aus gestuften nummerierten Einzelergebnissen als sogenannte Funktions-Stützstellen (auch Knoten genannt).

Für die Aufstellung der meisten Differenzengleichungen werden verschiedene Verfahren eingesetzt, wie das einfache Euler-Streckenzugverfahren oder die besseren und aufwendigeren Mehrschrittverfahren. Die komplizierteren Mehrschrittverfahren benötigen vorteilhaft für ein gleiches genaues Berechnungsergebnis eine wesentlich geringere Anzahl von Folgegleichungen.

  • Kommerzielle Programme numerischer Verfahren:
Für den ingenieurtechnischen Bereich stehen die bekanntesten Programme wie Matlab und Simulink mit umfangreichen Befehlssätzen für die theoretische Modellierung von dynamischen Systemen und vielen speziellen kybernetischen und regelungstechnischen Anwendungen zur Verfügung. Für diese Aufgaben ist ein normal ausgestatteter Personal Computer geeignet.
  • Einschrittverfahren nach Euler:
Das klassisches Verfahren der Lösung von Differentialgleichungen durch Differenzengleichungen ist das explizite Euler-Verfahren mit der Berechnungsfolge .[4]
Darstellung der Integrationsschritte des expliziten Euler-Streckenzugverfahrens.

Das Verfahren wird für jeden Rechenschritt (Stützpunkt, Knoten) für die Ableitung durch einen Vorwärts-Differenzenquotienten approximiert. Der Begriff Vorwärts-Differenzenquotient bezieht sich auf die linke Intervallgrenze laut Diagramm nach mit dem Intervall .

Der Vorwärts-Differenzenquotient für eine Funktion lautet:

Beim Euler-Vorwärts-Verfahren wird das Integral für einen Streckenzug approximiert:

Die Annäherung für das Integral ist die Festlegung, dass der Integrand im gesamten Integrationsintervall konstant ist und durch den Wert am linken Rand des Integrationsintervalls ersetzt werden kann. und sind bekannte Größen (Anfangswerte).

Der Algorithmus zur Approximation des Integrals führt auf folgende Berechnungsvorschrift:

Explizite Form der Differenzengleichung der Vorwärtsdifferenz:

Für die Terme der Differenzengleichung lassen sich die Integrationsgrenzen der Indizierungen von um (-1) zurücksetzen. Damit entsteht eine identisch verwendbare Form der Differenzengleichung als Rückwärtsdifferenz (Implizites Euler-Verfahren)

Dabei bedeutet:

  • =
sind die aktuellen Lösungen der rekursiven Differenzengleichung. ist der Folge zugeordnet.
  • = das um einen Schritt zurückliegende Ergebnis,
  • bedeutet: Parameter der diskretisierten Differentialgleichung zu einer Differenzengleichung.
Diese Parameter und sind in jeder Berechnungsfolge konstant. (Es existieren aber auch aufwendigere Diskretisierungsverfahren, die variable Intervalle benutzen.)

Durch die Anwendung dieser Form der Differenzengleichung (Rückwärtsdifferenz) ergibt sich der Verlauf von als Obersumme gegenüber der analytischen Funktion . Die zugehörige Differenzengleichung entsteht erst durch Einsetzen des Differenzenquotienten anstelle des Differenzialquotienten in der Differentialgleichung.

Das explizite Eulerverfahren wird auch unter dem Begriff: Integrationsformel (Euler-Cauchy-Verfahren) bezeichnet.

Beispiel einer numerischen Berechnung einer gegebenen Differentialgleichung 1. Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Numerische Berechnung einer Differentialgleichung mit Anfangswert.

Gegeben: Differentialgleichung , Anfangswert

Analytische Lösung:

Gesucht: Differenzengleichung nach Euler-Rückwärts:

Die Ableitung wird näherungsweise durch den Differenzenquotient
ersetzt.

Die Differenzengleichung wird nach freigestellt:

Schrittweite h = 0,2; e = 2,718.
Folge
k
Parameter
Ergebnis
Annäherung
Analytisch
0 0 0 0,4 = 1 1
1 0,2 1 0,597 1,597 1,492
2 0,4 1,597 0,890 2,487 2,225
3 0,6 2,487 1,328 3,815 3,320
4 0,8 3,815 1,981 5,796 4,952
5 1,0 5,796 2,955 8,751 7,387

Anmerkung zur Programmierung von Differenzengleichungen:

Entscheidend für das Ergebnis der numerischen Berechnung ist die Differenzengleichung in der Startzeile für , bzw. . Damit ist festgelegt, ob es sich bei dem Ergebnis um eine Obersumme oder Untersumme gegenüber der analytischen Funktion handelt. Ober- und Untersumme können sich durch eine einzelne Schrittweite unterscheiden.

Das tabellarische Ergebnis ist eine Folge von Berechnungspunkten (Stützstellen) in Annäherung an die analytische Funktion. Werden diese Punkte interpoliert, entsteht eine geschlossene Funktion. Mit fallender Größe von konvergiert die numerische Lösung gegenüber der analytischen Funktion im Unendlichen.

Differenzengleichungen können mit jeder Programmiersprache berechnet werden. Da das Ergebnis der Berechnungsfolgen immer tabellarisch ist, empfiehlt es sich die Software der Tabellenkalkulation anzuwenden. Die Differenzengleichung wird beliebig oft kopiert. Der Vorteil: Die Tabellenkalkulation macht keine Fehler, die Rechengenauigkeit (Dezimalstellen) ist sehr hoch, die grafische Darstellung der Funktion ist als XY-Diagramm bereits im Programm enthalten und muss nur aufgerufen werden.

Differenzengleichung des Zeitverhaltens bekannter Systeme 1. Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Differenzengleichungen beschreiben im einfachsten Falle Differentialgleichungen 1. Ordnung, deren Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ausgetauscht wurden. Sämtliche linearen Systeme höherer Ordnung können mit Hilfe von 4 Arten von Differenzengleichungen beschrieben werden, auch schwingende Systeme mit konjugiert komplexen Polpaaren.

Lineare zeitabhängige Prozesse, die durch GDGL beschrieben werden, lassen sich durch Nullstellenzerlegung in Systeme 1. Ordnung zerlegen. Enthalten diese Systeme Schwingungsanteile, weil auch ein Teilsystem mit einem konjugiert komplexen Polpaar vorhanden ist, so handelt es sich um ein lineares Teilsystem zweiter Ordnung.

Lineare Systeme ohne Anfangswerte der Systemspeicher werden durch die Laplace-transformierte Differentialgleichung als Übertragungsfunktionen beschrieben und mittels Laplace-Transformationstabellen oder Partialbruchzerlegung berechnet. Diese Systeme können ebenso durch Umwandlung in Differenzengleichungen berechnet werden. Enthalten die systembeschreibenden GDGL konjugiert komplexe Pole, so werden die zugehörigen Differenzengleichungen durch Differenzenquotienten 2. Ordnung bestimmt.

Die nachfolgende Tabelle zeigt die möglichen stabilen Teilsysteme 1. Ordnung, aus denen ein lineares dynamisches Gesamtsystem bestehen kann:

Tabelle der Differenzengleichungen (Euler-Rückwärts) der Elementarsysteme G(s) erster Ordnung
Elementarsysteme P-Glied I-Glied D-Glied PD1-Glied PT1-Glied
Übertragungsfunktion
Differenzengleichungen

[Mit K = Verstärkungsfaktor, = aktuelle Ausgangsgröße, = vorherige Ausgangsgröße, T = Zeitkonstante, = aktuelle Eingangsgröße (nicht zu verwechseln mit der Systemeingangsgröße )].

Bei dynamischen Systemen, die über die Übertragungsfunktion beschrieben werden, existieren keine Anfangswerte. Berechnete Differenzengleichungen starten bei der Folge mit

Diese Differenzengleichungen von Elementarsystemen können beliebig multiplikativ, additiv oder zurückgekoppelt vermascht sein. Jede Gleichung eines Gesamtsystems wird hintereinander berechnet. Bei Reihenschaltungen von Teilsystemen ist die berechnete Ausgangsgröße die Eingangsgröße des folgenden Teilsystems. Bei Parallelschaltungen von Teilsystemen werden die Ergebnisse der Ausgangsgrößen additiv zusammengeführt.

Siehe Artikel Differenzengleichung#Differenzengleichungen höherer Ordnung.

Numerische Berechnung eines Übertragungssystems 2. Ordnung mit Hilfe der Regelungsnormalform der Zustandsraumdarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die bis in die 1960-er Jahre bevorzugte Lösung einer systembeschreibenden Differenzialgleichung durch einen Analogrechner ähnelt sehr stark der Regelungsnormalform des Zustandsraumes.

Die Ausgangswerte der Integratoren können zu einem beliebig wählbaren Zeitpunkt für den Wert Null haben, oder auf einen beliebigen Anfangswert gesetzt werden, unabhängig davon, ob die Eingangsgröße einen Wert ungleich Null oder gleich Null hat. Die Ausgänge der Integratoren sind die Zustandsvariablen und jeweils die Lösungen der Differentiale, indem sie mit den zugehörigen Koeffizienten auf den Eingang der höchsten Ableitung zurückgeführt werden. Die gesuchte Funktion der Ausgangsgröße entspricht der Zustandsvariablen .

Die Berechnung des Signalflussplans wird numerisch durchgeführt und bezieht sich auf die explizite Form der Differenzialgleichung, bei der die höchste Ableitung der Ausgangsgröße von der Gleichung freigestellt wird.

Beispiel der GDGL eines Feder-Masse-Dämpfungssystems mit dem Eingangssignal

Im universitären Fachbereich technischer Studienrichtungen wird das Federpendel als ein Übertragungssystem zweiter Ordnung in vielen Fällen als System mit einem Eingang und einem Ausgang definiert. Das linear gedämpft schwingende System verfügt meist über einen Systemeingang und einen Systemausgang als Position (Lage) der Masse. Folgende Anwendungsfälle treten auf:

  • Anwendungsfall
Die Eingangsgröße greift mit einer Kraft den Körper der Masse an und bewegt den Körper als Ausgangsgröße . Der Bewegung stehen die Trägheits-, Dämpfungs- und Rückstellkraft der Feder entgegen.
Nach genügend langer Zeit ist die Ruhelage der Masse abhängig von der Eingangsgröße , von der Federkonstante und der Masse .
  • Anwendungsfall
Das System mit ist in Bewegung, wenn zum Zeitpunkt Anfangswerte und deren Ableitungen der inneren Energiespeicher gegeben sind.
Nach genügend langer Zeit ist die Ruhelage der Masse durch die Größe der Masse und durch die Federkraft bestimmt.

Es handelt sich bei dem Federpendel um ein lineares Verzögerungssystem 2. Ordnung, das im komplexen Frequenzbereich ein konjugiert komplexes Polpaar aufweist. Das System schwingt gedämpft, wenn die Größe des Dämpfungsgrades im Bereich liegt.

Differenzialgleichung der Schwingbewegung mit Signaleingang und Signalausgang : (m = Masse, d = Dämpfungskonstante, k = Federkonstante, b0 = Faktor)

Signalflussplan für die homogene und partikuläre Lösung der GDGL zweiter Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Signalflussplan der Regelungsnormalform für ein System 2. Ordnung ohne Differentiale des Eingangssignals u(t) zur Bestimmung der Zustandsvariablen x1(t), x2(t).

In dem dargestellten Signalflussplan sind alle Koeffizienten der GDGL durch den Koeffizienten der höchsten Ableitung dividiert worden, um freistellen zu können. Der Signalflussplan entspricht der expliziten Darstellung der GDGL, also der Form der freigestellten Gleichung nach der höchsten Ableitung .

Der Signalflussplan wird wie dargestellt numerisch berechnet, indem jede mathematische Operation der Koeffizienten und Differenzengleichungen hintereinander erfolgt. Da das Ergebnis der numerischen Berechnung immer tabellarisch erfolgt, gehören sämtliche Berechnungen entsprechend der Folge innerhalb einer Zeile. Jede Gleichung besetzt eine Spalte der gleichen Zeile. Es werden identische Zeilen hintereinander berechnet.

Die allgemeine Form der Schwingungsgleichung lautet:

Zur Durchführung der Berechnung wird die GDGL nach der höchsten Ableitung umgestellt und freigestellt.

Der dargestellte Signalflussplan erzwingt die Lösung der GDGL zweiter Ordnung für . Es hängt nun davon ab, ob eine:

  • homogene Lösung mit Anfangswerten und ,
  • partikuläre Lösung mit ohne Anfangswerte,
  • eine Gesamtlösung mit Anfangswerten und gewünscht wird.

Zur Berechnung der Komponenten des Signalflussplanes sind folgende numerische Operationen erforderlich:

Algebraische Operationen wie z. B. die Differenz der Koeffizienten von der Eingangsgröße sind entsprechend der Folge bzw. der Folgegleichungen nummeriert.

.

Für die homogene Lösung ist die Eingangsgröße .

Für die Berechnung der Integratoren gilt die Differenzengleichung der Integration (Euler-Rückwärts):

Der Term bedeutet hier allgemein die Eingangsgröße für jede Folge der Differenzengleichung. Dies ist in den meisten fällen nicht die System-Eingangsgröße , sondern es handelt sich um den in der tabellarische Darstellung stehenden Eingangswert, der in der gleichen Zeile links neben der Spalte der Differenzengleichung liegt. Je nach Aufgabenstellung ändert sich ständig mit steigender Folge. Bei mehreren Differenzengleichungen in Reihenschaltung ist die Ausgangsgröße die Eingangsgröße der nächsten Differenzengleichung .

Die Integrationskonstante hat ohne besondere Spezifikation den Wert 1.

bezieht sich auf das Ergebnis einer um zurückliegenden Folge (Zeile) der gleichen Spalte der Differenzengleichung.

Da zwei Integratoren in Reihenschaltung vorliegen, ist die Ausgangsgröße des ersten Integrators die Eingangsgröße des zweiten Integrators. Die Ausgangsgröße des zweiten Integrators ist die gesuchte Funktion der gleichen Folge für einen Stützpunkt in Annäherung an die analytische Funktion.

Liegen Anfangswerte der GDGL vor, werden für den entsprechenden Integrator für die Berechnungsfolge anstelle des Wertes (1. Zeile der Tabelle) die Anfangswerte der zwei Differenzengleichungen eingegeben.

Da die numerische Lösung der GDGL eine Annäherung an die Originalfunktion darstellt, hängt die Genauigkeit der Berechnung für die angegebene Differenzengleichung von Größe der diskreten Zeit ab. Wird für ein Wert von ca. 0,1 % von der dominanten System-Zeitkonstante gewählt, ist ein Annäherungsfehler von ca. 0,1 % zu erwarten.

Beispiel der homogenen Lösung eines senkrecht schwingenden Federpendels ohne Eingangssignal mit Anfangswerten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zeitverhalten der Position der Masse des Federpendels ohne Signaleingang. Schwingperiode: 2,54 [sec], Dämpfung D = 0,15. Beispiel Zahlenwerte: m = 0,16; d = 0,12; k = 1; y0 = 1

Siehe nebenstehendes Bild!

Das Federpendel kann auch als ein System mit einem Eingangssignal = Null zum Zeitpunkt mit den Anfangswerten der Federkraft und der Masse definiert werden. In diesem Fall ist das System zum Zeitpunkt sich selbst überlassen und strebt eine Ruhelage an, die durch die Federkraft, Masse und Dämpfung bestimmt wird.

Die Anfangswerte werden wie folgt definiert:

  • Die Lage der Masse im Ruhezustand wird als Null festgelegt.
  • Die Lage der Masse wird auf eine Höhe mit dem Anfangswert angehoben definiert und zum Zeitpunkt fallen gelassen.
  • Der Anfangswert des ersten Integrators muss im angehobenen Zustand der Masse den Wert Null, also annehmen, anderenfalls kann der Anfangswert nicht auf den Anfangswert verharren. Ein konstanter Ausgangswert bei zwei hintereinander geschalteten Integratoren ist nur möglich, wenn der Ausgangswert des ersten Integrators gleich Null ist.

Für die homogene Lösung der GDGL des Federpendels sind folgende rekursive Berechnungen nach dem Signalflussplan erforderlich:

  • Die Eingangsgröße ist gleich Null.
. Diese mit den Koeffizienten bewertete Ausgangsgrößen der Integratoren wirken als Eingangsgröße auf .
  • Differenzengleichung des ersten I-Gliedes:
. Der Ausgangswert des ersten Integrators ist der Eingangswert des zweiten Integrators. ()
  • Differenzengleichung des zweiten I-Gliedes:
. Der Ausgangswert des zweiten Integrators ist das Ergebnis einer Berechnungszeile. ()
  • Die erste Berechnungszeile für enthält die Anfangswerte der Integratoren und der Differenzengleichungen. Alle übrigen Gleichungen in dieser Zeile haben den Wert Null.

Werden diese Gleichungen für eine grafische Darstellung mit einer Betrachtungszeit von 10 Sekunden mit berechnet, sind 1000 identische Berechnungsfolgen (Zeilen) erforderlich. Jede Folge liefert im Abstand für einen Wert. Der größte Approximationsfehler beträgt wegen der gewählten Größe von etwa 1 %.

Mit Ausnahme der Folgegleichung für (1. Zeile) sind alle weiteren Folgegleichungen (Zeilen) identisch.

Tabellarische Berechnung des Pendels:

Zur Berechnung der Koeffizienten als Eingangsgröße des ersten Integrators der Folge stehen die Werte von und noch nicht zur Verfügung. Deshalb müssen diese Werte von einer zurückliegenden Folge entnommen werden. Zur Vermeidung von Rundungsfehlern, die sich addieren, wurde mit sehr hoher Stellenzahl der Tabellenkalkulation gerechnet.

Folge k Diskrete Zeit
Koeffizienten
Erste numerische
Integration
Zweite numerische
Integration
0 0 0
1 0,01 -6,250 -0,0625 0,999375
2 0,02 -6,199219 -0,1244922 0,998130
3 0,03 -6,144944 -0,1859416 0,9962706
126 1,26 3,929768 -0,0337729 -0,6203322

Partikuläre Lösung der GDGL eines senkrecht schwingenden Federpendels mit Eingangssignal ohne Anfangswerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die partikuläre Lösung der GDGL des Federpendels sind folgende rekursive Berechnungen nach dem Signalflussplan erforderlich:

  • Die Eingangsgröße wird für einen normierten Sprung gewählt.
. Diese bewerteten Koeffizienten wirken als Eingangsgröße auf
  • Differenzengleichung des ersten I-Gliedes:
. Der Ausgangswert des ersten Integrators ist der Eingangswert des zweiten Integrators. ()
  • Differenzengleichung des zweiten I-Gliedes:
. Der Ausgangswert des zweiten Integrators ist das Ergebnis einer Berechnungszeile. ()
  • Die erste Berechnungszeile für enthält die Anfangswerte der Integratoren und der Differenzengleichungen. Alle übrigen Gleichungen in dieser Zeile haben den Wert Null.

Das Ergebnis der numerischen Berechnung ist eine spiegelbildliche Darstellung des Verlaufs von der homogenen Lösung für die gewählten Daten. Das System startet bei gedämpft schwingend und nähert sich asymptotisch nach genügend langer Zeit dem Wert 1.

Die Gesamtlösung der GDGL der gewählten Daten lautet für alle Folgen .

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen, 2. Auflage, Gruyter - de Gruyter Lehrbücher, Berlin New York, 1995, ISBN 3-11-014582-0
  • Bernd Aulbach: Gewöhnliche Differenzialgleichungen, Elsevier Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2004, ISBN 3-8274-1492-X
  • Martin Hermann: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen, Anfangs- und Randwertprobleme, Oldenbourg Verlag, München und Wien, 2004, ISBN 3-486-27606-9
  • Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Teubner, März 2004, ISBN 3519322277
  • Edward Lincey Ince: Die Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen, Dover Publications, 1956, ISBN 0486603490
  • Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer, 2000, ISBN 3540676422

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Prof. Dr. May-Britt Kallenrode, Universität Osnabrück, Fachbereich Physik: Vorlesungsskript „Mathematik für Physiker“, Kapitel: „Gewöhnliche Differenzialgleichungen“, 611 Seiten, ausgestellt 2007.
  2. Prof. Dr. May-Britt Kallenrode, Universität Osnabrück, Fachbereich Physik: Vorlesungsskript „Mathematik für Physiker“, Kapitel: „Differenzialgleichungen 2. Ordnung“, 611 Seiten, ausgestellt 2007.
  3. Prof. Dr.-Ing. Oliver Nelles, Universität Siegen: Vorlesungskonzept Mess- und Regelungstechnik I, Kapitel: „Laplace-Transformation“, 446 Seiten vom 8. Oktober 2009.
  4. Jürgen Dankert, HAW-Hamburg, Skript: "Numerische Integration von Anfangswertproblemen", 39 Seiten.