Anfangswertproblem

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Als Anfangswertproblem (abgekürzt AWP), manchmal auch Anfangswertaufgabe (abgekürzt AWA) oder Cauchy-Problem genannt, bezeichnet man in der Analysis eine wichtige Klasse von Differentialgleichungen. Die Lösung eines Anfangswertproblems ist die Lösung der Differentialgleichung unter zusätzlicher Berücksichtigung eines vorgegebenen Anfangswertes.

In diesem Artikel wird das Anfangswertproblem zunächst für gewöhnliche Differentialgleichungen und später auch für partielle Differentialgleichungen erklärt.

Gewöhnliche Differentialgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anfangswertproblem 1. Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Anfangswertproblem erster Ordnung ist ein Gleichungssystem, das aus einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung

und einer zusätzlichen Anfangsbedingung

besteht, mit

  • dem Anfangswert und
  • einem Zeitpunkt .

Eine konkrete Funktion ist eine Lösung des Anfangswertproblems, wenn sie beide Gleichungen erfüllt.

Anfangswertproblem k-ter Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben seien und eine Funktion . Ihr Definitionsbereich sei hierbei eine Teilmenge von , worin ein Intervall bezeichnet, welches umfasst. Dann heißt

ein Anfangswertproblem -ter Ordnung. Jedes Anfangswertproblem -ter Ordnung lässt sich umschreiben in ein Anfangswertproblem 1. Ordnung.

Ein spezielles Anfangswertproblem ist das Riemann-Problem, bei dem die Anfangsdaten konstant sind bis auf eine Unstetigkeitsstelle.

Anfangswertprobleme treten z.B. in den Naturwissenschaften auf, wenn ein mathematisches Modell für natürliche Prozesse gesucht wird.

Wichtige Sätze, die die Lösbarkeit von Anfangswertproblemen für gewöhnliche Differentialgleichungen betreffen, sind der (lokale) Existenzsatz von Peano und der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf. Ein Hilfsmittel ist die grönwallsche Ungleichung.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Anfangswertproblem

welches zu

korrespondiert, hat unendlich viele Lösungen, nämlich neben der trivialen Lösung

auch noch für jedes die Lösungen

sowie

Damit Anfangswertprobleme eindeutige Lösungen besitzen, sind Zusatzeigenschaften (an ) nachzuweisen. Dies kann beispielsweise über den Satz von Picard-Lindelöf geschehen, dessen Voraussetzungen in diesem Beispiel jedoch nicht erfüllt werden.

Numerische Lösungsmethoden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur numerischen Lösung von Anfangswertproblemen werden Einschritt- oder Mehrschrittverfahren eingesetzt. Dabei wird die Differentialgleichung mittels einer Diskretisierung approximiert.

Partielle Differentialgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verallgemeinert man das Cauchy-Problem auf mehrere Veränderliche, etwa Veränderliche , so erhält man partielle Differentialgleichungen. Im Folgenden stehe für einen Multiindex der Länge . Beachte, dass es genau Multiindizes mit gibt. Es sei weiter eine Funktion in Variablen gegeben. Beim allgemeinen Cauchy-Problem sucht man nach Funktionen , die von Variablen abhängen und die Gleichung

(1)

erfüllen. Beachte, dass die Stelligkeit von gerade so gewählt wurde, dass man und alle partiellen Ableitungen einsetzen kann. Darüber hinaus fordert man, dass die gesuchten Funktionen den im Folgenden beschriebenen sogenannten Anfangs- bzw. Randbedingungen genügen. Zu deren Formulierung sei eine Hyperfläche der Klasse Ck mit Normalenfeld . Mit seien die Normalenableitungen bezeichnet. Sind dann vorgegebene auf definierte Funktionen, so fordert man beim allgemeinen Cauchy-Problem, dass die Funktionen zusätzlich die Bedingungen

(2) auf

erfüllen. Die Funktionen heißen die Cauchy-Daten des Problems, jede Funktion , die beide Bedingungen (1) und (2) erfüllt, heißt eine Lösung des Cauchy-Problems.

Durch eine geeignete Koordinatentransformation kann man sich auf den Fall zurückziehen. Dann spielt die letzte Variable eine Sonderrolle, denn die Anfangsbedingungen sind dort gegeben, wo diese Variable 0 ist. Da diese Variable in vielen Anwendungen als Zeit interpretiert wird, benennt man sie gern in (lateinisch tempus = Zeit) um, die Anfangsbedingungen beschreiben dann die Verhältnisse zum Zeitpunkt . Die Variablen sind also . Da die betrachtete Hyperebene durch die Bedingung gegeben ist, wird die Normalenableitung einfach zur Ableitung nach . Schreibt man abkürzend und , so lautet das Cauchy-Problem nun

(1')
(2') .

Ein typisches Beispiel ist etwa die dreidimensionale Wellengleichung

,

wobei eine Konstante, eine vorgegebene Funktion und der Laplace-Operator seien.

Ist eine Lösung, was gleichzeitig ausreichende Differenzierbarkeit implizieren soll, so sind alle Ableitungen mit bereits durch die Cauchy-Daten vorgegeben, denn es ist . Lediglich die Ableitung ist nicht durch (2') festgelegt, hier kann also nur (1') eine Bedingung stellen. Damit (1') tatsächlich eine nicht-triviale Bedingung und damit das Cauchy-Problem nicht von vornherein schlecht gestellt ist, wird man fordern, dass man die Gleichung (1') nach auflösen kann. Das Cauchy-Problem hat dann die Form

(1")
(2") ,

wobei eine geeignete Funktion der Stelligkeit sei. In der zuletzt gegebenen Formulierung haben alle auftretenden Ableitungen eine Ordnung , und die -te Ableitung nach tritt tatsächlich auf, denn dies ist gerade die linke Seite von (1") und sie kommt nicht auf der rechten Seite von (1") vor. Man nennt daher auch die Ordnung des Cauchy-Problems. Das obige Beispiel der dreidimensionalen Wellengleichung ist offenbar leicht in diese Form zu bringen,

es liegt daher ein Cauchy-Problem der Ordnung 2 vor.

Sind alle Cauchy-Daten analytisch, so sichert der Satz von Cauchy-Kowalewskaja eindeutige Lösungen des Cauchy-Problems.

Abstraktes Cauchy-Problem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien ein Banachraum und ein linearer oder nichtlinearer Operator. Die Fragestellung, ob bei gegebenem , und eine differenzierbare Funktion mit für alle existiert, die das Anfangswertproblem

erfüllt, bezeichnet man als abstraktes Cauchy-Problem. Zu ihrer Lösbarkeit benötigt man die Theorie der stark stetigen Halbgruppen bzw. der analytischen Halbgruppen. Zu den verschiedenen Anfangsbedingungen und Operatoren gibt es verschiedene Arten des Lösungsbegriffes, im linearen distributionelle Lösungen, im nichtlinearen die integrale Lösung. Mit klassisch differenzierbaren, beziehungsweise fast überall differenzierbaren Lösungen beschäftigt sich die nachgelagerte Regularitätstheorie.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eine Einführung. 7. Auflage. Springer, 2000, ISBN 3-540-67642-2.
  • Isao Miyadera, Choong Yun Cho: Nonlinear Semigroups. American Mathemat. Soc., Providence, RI 1992, ISBN 0-8218-4565-9.
  • Amnon Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer-Verlag, New York 1983, ISBN 0-387-90845-5.
  • Gerald B. Folland: Introduction to Partial Differential Equations. Princeton University Press, 1976, ISBN 0-691-08177-8. (insbesondere Kapitel 1.C. für das allgemeine Cauchy-Problem)

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]