Jørgensen-Ungleichung

In der hyperbolischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Jørgensen-Ungleichung eine notwendige Bedingung für die Diskretheit von Gruppen von Isometrien des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes $\mathbb {H} ^{3}$. Sie geht auf Troels Jørgensen zurück.

Ungleichung

Es sei $\Gamma$ eine von zwei Matrizen $f,g\in PSL(2,\mathbb {C} )$ erzeugte nicht-elementare Kleinsche Gruppe, dann gilt die Ungleichung

$\vert Sp(f)^{2}-4\vert +\vert Sp(\left[f,g\right])-2\vert \geq 1$,

wobei $Sp(.)$ die Spur einer Matrix und $\left[.,.\right]$ den Kommutator zweier Matrizen bezeichnet.

Anschaulich sagt die Bedingung, dass zwei Elemente, die eine nicht-elementare diskrete Gruppe erzeugen, nicht zu nahe an der Identität sein können.

Gleichheit

Die einzige hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit, deren Fundamentalgruppe von 2 Elementen $f,g$ mit $\vert Sp(f)^{2}-4\vert +\vert Sp(\left[f,g\right])-2\vert =1$ erzeugt wird, ist das Komplement des Achterknotens.

Die einzigen diskreten Untergruppen von $PSL(2,\mathbb {R} )$, die von 2 Elementen $f,g$ mit $\vert Sp(f)^{2}-4\vert +\vert Sp(\left[f,g\right])-2\vert =1$ erzeugt werden, sind die Hyperbolische Dreiecksgruppen der Signatur $(2,3,q)$ mit $7\leq q\leq \infty$.

Weiterhin gibt es zu jedem $r\geq 1$ eine diskrete Gruppe $\Gamma \subset PSL(2,\mathbb {C} )$ mit $inf_{f,g\colon \langle f,g\rangle =\Gamma }\left\{\vert Sp(f)^{2}-4\vert +\vert Sp(\left[f,g\right])-2\vert \right\}=r$.

Anwendungen

• Die Jørgensen-Ungleichung wird in zahlreichen Konvergenzbeweisen in der Theorie der Kleinschen Gruppen verwendet.
• Jørgensens ursprüngliche Anwendung war der Beweis des folgenden Konvergenzsatzes: Sei $\Gamma$ eine nicht-elementare Kleinsche Gruppe und $(\phi _{n})_{n}$ eine Folge von Isomorphismen von $\Gamma$, die gegen einen Homomorphismus $\phi :\Gamma \rightarrow PSL(2,\mathbb {C} )$ konvergiert, dann ist $\phi (\Gamma )$ eine Kleinsche Gruppe und $\phi$ ist ein Isomorphismus.
• Falls $f$ parabolisch ist, erhält man das klassische Resultat über die Existenz präzis invarianter Horosphären.
• Es gibt zahlreiche Verallgemeinerungen der Jørgensen-Ungleichung auf diskrete Gruppen von Isometrien anderer metrischer Räume.

Literatur

• Jørgensen, Troels: On discrete groups of Möbius transformations. Amer. J. Math. 98 (1976), no. 3, 739–749. pdf
• Matsuzaki, Katsuhiko; Taniguchi, Masahiko: Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998. ISBN 0-19-850062-9 (Kapitel 2.2)