Diskrete Untergruppe

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In der Mathematik spielen diskrete Untergruppen topologischer Gruppen eine wichtige Rolle in Topologie, Differentialgeometrie und Theorie der Lie-Gruppen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine topologische Gruppe. Eine Untergruppe heißt diskret, wenn die induzierte Unterraumtopologie die diskrete Topologie ist, also alle Elemente isoliert sind: in einer hinreichend kleinen Umgebung eines beliebigen Elements liegen keine weiteren Elemente von .

Eine Darstellung einer (abstrakten) Gruppe heißt diskret, wenn das Bild eine diskrete Untergruppe von ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • ist eine diskrete Untergruppe
  • ist eine diskrete Untergruppe
  • ist keine diskrete Untergruppe
  • ist eine diskrete Untergruppe

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine diskrete Untergruppe einer Hausdorffschen topologischen Gruppe ist stets abgeschlossen.

Gitter[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine lokalkompakte -kompakte topologische Gruppe, die Projektion und das (bis auf einen konstanten Faktor eindeutige) Haarmaß. Für eine diskrete Untergruppe erzeugt das Haarmaß ein wohldefiniertes Maß auf wie folgt: für alle Mengen mit definieren wir .

Ein Gitter ist eine diskrete Untergruppe , für die es einen Fundamentalbereich endlichen Volumens gibt, oder äquivalent: für die der Quotientenraum endliches Volumen (bzgl. des Haarmaßes) hat.

Das Gitter heißt uniform oder kokompakt, wenn kompakt ist.

Ein Gitter heisst reduzibel, wenn sich als direktes Produkt zerlegen lässt, so dass es Gitter gibt, für die eine Untergruppe von endlichem Index in ist, und irreduzibel, wenn es eine solche Zerlegung nicht gibt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]