Kempner-Reihe

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In der Mathematik bezeichnen die zehn Kempner-Reihen, benannt nach Aubrey J. Kempner, diejenigen Reihen, die dadurch entstehen, dass man aus der harmonischen Reihe alle Summanden entfernt, die eine bestimmte dezimale Ziffer in ihrem Nenner enthalten. Die Kempner-Reihen gehören daher zu den subharmonischen Reihen.

Lässt man etwa alle Summanden weg, deren Nenner die Ziffer in seiner Dezimalschreibweise enthält, ergibt sich die Kempner-Reihe als

Oder durch Auslassen der Summanden mit einer im Nenner:

Sie wurden erstmals von Aubrey J. Kempner 1914 beschrieben.[1]

Das Interessante an diesen zehn Reihen ist, dass sie alle konvergieren, obwohl die harmonische Reihe selbst nicht konvergiert. Dies wurde von Kempner bewiesen; daher werden die Reihen oft Kempner-Reihen genannt.

Beweis der Konvergenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Kempner-Reihe sind

  • im einstelligen Nennerbereich 1 bis 9 genau Nenner (alle) zulässig;
  • im zweistelligen Nennerbereich 10 bis 99 genau Nenner (neun Ziffern an der ersten Stelle mal neun Ziffern an der zweiten Stelle möglich) zulässig;
  • im dreistelligen Nennerbereich 100 bis 999 genau Nenner zulässig; usw.,

allgemein sind

  • im -stelligen Nennerbereich bis genau Nenner zulässig.

Die zulässigen einstelligen Nennerwerte sind allesamt größergleich 1, daher sind die Brüche in der Reihe jeweils kleinergleich 1; die zulässigen zweistelligen Nenner sind alle größergleich 10, daher sind die entsprechenden Brüche alle kleinergleich ; die dreistelligen zulässigen Nenner sind jeweils größergleich 100, daher sind die entsprechenden Brüche allesamt kleinergleich ; usw.

Das ergibt die obere Schranke

(Bei der Reihe in der vorletzten Zeile handelt es sich um eine konvergente geometrische Reihe)

Damit konvergiert und es gilt die (ziemlich großzügige) Schranke

Der Beweis der Konvergenz der anderen Reihen verläuft analog, es ist aber zu beachten, dass im einstelligen Nennerbereich nur 8 Werte, im zweistelligen Nennerbereich aber Nennerwerte zulässig sind, da an der ersten Stelle sowohl die Null als auch die entsprechende Ziffer, an der zweiten Stelle aber nur die entsprechende Ziffer "verboten" sind, usw.; insgesamt ergibt sich dadurch die Schranke .

Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Reihen konvergieren extrem langsam.

Näherungswerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ausgelassene Ziffer Näherungswert[2]
0 23,10344
1 16,17696
2 19,25735
3 20,56987
4 21,32746
5 21,83460
6 22,20559
7 22,49347
8 22,72636
9 22,92067

Effiziente Berechnungsmöglichkeiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aufgrund der ziemlich langsamen Konvergenz benötigt man schnelle und effiziente Berechnungsalgorithmen, vgl. [3].

Erweiterungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

n-faches Auftreten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

F. Irwin verallgemeinerte das Resultat der Konvergenz der zehn Kempner-Reihen, indem er bewies, dass alle Reihen, die über die Kehrwerte aller natürlicher Zahlen, in denen die Ziffer genau mal, die Ziffer genau , usw. auftreten, ebenfalls konvergieren.[4]

Die Summe der Kehrwerte der natürlichen Zahlen, in denen genau eine 9 vorkommt, beträgt etwa 23,044287080747848319. Dieser Wert ist größer als Kempners , obwohl diese mit größeren Summanden beginnt. Ein extremeres Beispiel dafür ist die Summe der Kehrwerte der natürlichen Zahlen, in denen einhundert Nullen vorkommen, sie beginnt mit dem Summanden und ist dennoch größer als etwa .[3]

Zusammenhängende Ziffernfolgen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Möglichkeit, die harmonische Reihe weit weniger auszudünnen, ist, nur alle Summanden herauszunehmen, deren Nenner irgendwo eine bestimmte zusammenhängende Ziffernfolge – etwa 314 (die ersten drei Stellen der Kreiszahl ) – enthält. Auch derartige Reihen konvergieren; im genannten Beispiel ergibt sich ein Grenzwert von etwa 2299,829782.[5] Bei Herausnahme der ersten sechs Stellen 314159 ergibt sich ein Grenzwert von etwa 2302582,333863782607892.[6] Allgemein gilt: Wenn alle Summanden mit einer zusammenhängenden Ziffernfolge der Länge herausgenommen werden, konvergiert die Reihe mit einem Grenzwert in der Größenordnung von etwa .[7]

In anderen Stellenwertsystemen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt natürlich auch analoge Reihen in anderen Stellenwertsystemen. Die duale Kempner-Reihe etwa entsteht durch Streichen aller Summanden, die eine in ihrer Dualdarstellung enthalten. Alle Dualzahlen zu streichen, in denen eine vorkommt, geht nicht. Die einzige duale Kempner-Reihe ist also

welche gegen die Erdős-Borwein-Konstante konvergiert. Zum Beweis der Konvergenz betrachte man die unendliche konvergente geometrische Reihe als obere Schranke.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Aubrey J. Kempner: A Curious Convergent Series. In: Amer. Math. Monthly, Band 21 Nr. 2, Mathematical Association of America, Washington 1914, S. 48–50, ISSN 0002-9890.
  2. Eric W. Weisstein: Kempner Series. In: MathWorld (englisch).
  3. a b Robert Baillie: Summing the Curious Series of Kempner and Irwin, 27. Juni 2008, arxiv
  4. F. Irwin: A Curious Convergent Series. In: Amer. Math. Monthly. Band 23, 1916, Seiten 149-152.
  5. R. Baillie, T. Schmelzer: Summing Kempner's Curious (Slowly-Convergent) Series. 20. Mai 2008; vgl. in Wolfram Library Archive
  6. R. Baillie, T. Schmelzer: Summing Kempner's Curious (Slowly-Convergent) Series. 20. Mai 2008; vgl. in Wolfram Library Archive
  7. Eric W. Weisstein: Kempner Series. In: MathWorld (englisch).