Kleisli-Kategorie

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Eine Kleisli-Kategorie ist eine Kategorie, die sich auf natürliche Weise aus einer Monade ergibt. Sie ist benannt nach dem Schweizer Mathematiker Heinrich Kleisli.

Definition[Bearbeiten]

Sei C eine Kategorie und M=(T, \mu, \eta) eine Monade, mit T\colon C\to C als Endofunktor und \mu\colon T^2\to T, \eta\colon 1\to T als die auf ihm festgelegten Monoid-Operationen. Die zu C und M gehörende Kleisli-Kategorie wird im Folgenden als C_M bezeichnet. Die Objekte und Morphismen in ihr sind

  • \operatorname{Ob}(C_M)=\operatorname{Ob}(C), sowie
  • \operatorname{Mor}_{C_M}(X,Y)=\operatorname{Mor}_C(X, T(Y)).

Identitätsmorphismen und Verkettung sind

  • \operatorname{id}_A = \eta_A und
  • f \circ_{C_M} g = \mu \circ_C T(f) \circ_C g .

Beispiele[Bearbeiten]

  • Korrespondenzen bilden eine Kleisli-Kategorie. Der Endofunktor auf Set ist hier Potenzmengenbildung, \mathcal P, mit \mathcal P(f)(A) = \{f(a) | a\in A\}.

Literatur[Bearbeiten]

 Saunders Mac Lane: Categories for the working mathematician. Springer.