Kreuzkorrelation

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In der Signalanalyse wird die Kreuzkorrelationsfunktion  R_{xy}(\tau) zur Beschreibung der Korrelation zweier Signale  x(t) und  y(t) bei unterschiedlichen Zeitverschiebungen \tau zwischen den beiden Signalen eingesetzt. Der Wortbestandteil Kreuz steht für die Verschiebung der Signale um die Zeit \tau (man spricht im Falle der Autokorrelation, bei der y(t):=x(t) gewählt wird, auch von der Kreuzautokorrelation[1]). Es gilt:

R_{xy}(\tau) = \lim_{T_F \to \infty} \frac{1}{T_F}\int_{-T_F/2}^{T_F/2} x^*(t) \, y(t + \tau) \,\mathrm dt

mit x^* als die konjugiert komplexe Funktion von x.

In Kurzschreibweise wird für die Kreuzkorrelation das Operatorsymbol \star verwendet:

(x \star y)(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x^*(t) \, y(t + \tau)\,dt

Die Kreuzkorrelation lässt sich auch mit Hilfe der Faltungsoperation, bezeichnet durch den Faltungsoperator *, darstellen:

(x \star y)(\tau) = x^*(-\tau) * y(\tau)

Analog wird die diskrete Kreuzkorrelation, diese spielt im Bereich der digitalen Signalverarbeitung eine wesentliche Rolle, mit der Folge [m] und einer Verschiebung n festgelegt als:

(x \star y)[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x^*[m]\ y[n+m]

Die Kreuzkorrelation ist mit der Kreuzkovarianz eng verwandt.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Zusammenhang zwischen Faltung, Kreuzkorrelation und Autokorrelation.

Für alle \tau gilt

R_{xy}(\tau) = R_{yx}(-\tau)

sowie

\left| R_{xy}(\tau) \right| \leq \sqrt{R_{xx}(0)R_{yy}(0)} \leq \frac{1}{2} (R_{xx}(0)+ R_{yy}(0))

und

\lim \limits_{\tau \to \pm \infty} R_{xy}(\tau)=0

mit den Autokorrelationsfunktionen R_{xx}(\tau) und R_{yy}(\tau).

Sie zeigt z. B. Spitzen bei Zeitverschiebungen, die der Signallaufzeit vom Messort des Signals x(t) zum Messort des Signals y(t) entsprechen. Auch Laufzeitunterschiede von einer Signalquelle zu beiden Messorten können auf diese Weise festgestellt werden. Die Kreuzkorrelationsfunktion eignet sich daher besonders zur Ermittlung von Übertragungswegen und zur Ortung von Quellen.

Rechentechnisch wird die Kreuzkorrelationsfunktion in der Regel über die inverse Fouriertransformation des Kreuzleistungsspektrums  S_{XY}(f) ermittelt:

 R_{xy}(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S_{XY}(f) \, e^{\mathrm{i} 2 \pi f \tau} \,\mathrm df

Verbindung mit der Kreuzkovarianz[Bearbeiten]

Ist eines der Signale  x(t) oder  y(t) nullsymetrisch, d.h. ihr Mittelwert über das Signal ist Null ( \bar{x}(t)=0 oder  \bar{y}(t)=0 ), ist die Kreuzkorrelation identisch mit der Kreuzkovarianz. Bekannte Vertreter der nullsysmetrischen Funktionen sind zum Beispiel die Sinus- und Kosinusfunktionen.

Literatur[Bearbeiten]

  •  Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Einführung in die Systemtheorie. 4. Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. auf englisch cross-autocorrelation, Google Books