Kreuzkorrelation

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In der Signalanalyse wird die Kreuzkorrelationsfunktion zur Beschreibung der Korrelation zweier Signale und bei unterschiedlichen Zeitverschiebungen zwischen den beiden Signalen eingesetzt. Kreuz steht hierbei für den Fall der Funktion:

Handelt es sich um einen schwach stationären Prozess, so ist die Korrelationsfunktion nicht mehr von der Wahl der Zeitpunkte und , sondern nur von deren Differenz abhängig.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt für Energiesignale:

und für Leistungssignale:

mit als der konjugiert komplexen Funktion von , dem Operatorsymbol als Kurzschreibweise der Kreuzkorrelation und als dem der Faltungsoperation.

Analog wird die diskrete Kreuzkorrelation, diese spielt im Bereich der diskreten Signalverarbeitung eine wesentliche Rolle, mit der Folge und einer Verschiebung festgelegt als:

= (Energiesignale)
= (Leistungssignale)

In der digitalen Signalverarbeitung wiederum ist eine endliche Mittelung mit Argumenten beginnend bei Index 0 auf Grund der Architektur von Rechnerregistern erforderlich, wovon es eine vor- und eine unvorgespannte Version gibt:

(Vorspannversion)
(unvorgespannte Version)

Die Kreuzkorrelation ist mit der Kreuzkovarianz eng verwandt.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zusammenhang zwischen Faltung, Kreuzkorrelation und Autokorrelation.

Für alle gilt

sowie

und

mit den Autokorrelationsfunktionen und .

Sie zeigt z. B. Spitzen bei Zeitverschiebungen, die der Signallaufzeit vom Messort des Signals zum Messort des Signals entsprechen. Auch Laufzeitunterschiede von einer Signalquelle zu beiden Messorten können auf diese Weise festgestellt werden. Die Kreuzkorrelationsfunktion eignet sich daher besonders zur Ermittlung von Übertragungswegen und zur Ortung von Quellen.

Rechentechnisch wird die Kreuzkorrelationsfunktion in der Regel über die inverse Fouriertransformation des Kreuzleistungsspektrums ermittelt:

Verbindung mit der Kreuzkovarianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eines der Signale oder nullsymmetrisch, d.h. ihr Mittelwert über das Signal ist Null oder , ist die Kreuzkorrelation identisch mit der Kreuzkovarianz. Bekannte Vertreter der nullsymmetrischen Funktionen sind zum Beispiel die Sinus- und Kosinusfunktionen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Einführung in die Systemtheorie. 4. Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0.
  • Rüdiger Hoffmann: Signalanalyse und -erkennung. Springer, ISBN 3-540-63443-6.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]