Kreuzkorrelation

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In der Signalanalyse wird die Kreuzkorrelationsfunktion zur Beschreibung der Korrelation zweier Signale und bei unterschiedlichen Zeitverschiebungen zwischen den beiden Signalen eingesetzt. Der Wortbestandteil Kreuz steht für die Verschiebung der Signale um die Zeit (man spricht im Falle der Autokorrelation, bei der gewählt wird, auch von der Kreuzautokorrelation[1]). Es gilt:

mit als die konjugiert komplexe Funktion von .

In Kurzschreibweise wird für die Kreuzkorrelation das Operatorsymbol verwendet:

Die Kreuzkorrelation lässt sich auch mit Hilfe der Faltungsoperation, bezeichnet durch den Faltungsoperator , darstellen:

Analog wird die diskrete Kreuzkorrelation, diese spielt im Bereich der digitalen Signalverarbeitung eine wesentliche Rolle, mit der Folge und einer Verschiebung festgelegt als:

Die Kreuzkorrelation ist mit der Kreuzkovarianz eng verwandt.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zusammenhang zwischen Faltung, Kreuzkorrelation und Autokorrelation.

Für alle gilt

sowie

und

mit den Autokorrelationsfunktionen und .

Sie zeigt z. B. Spitzen bei Zeitverschiebungen, die der Signallaufzeit vom Messort des Signals zum Messort des Signals entsprechen. Auch Laufzeitunterschiede von einer Signalquelle zu beiden Messorten können auf diese Weise festgestellt werden. Die Kreuzkorrelationsfunktion eignet sich daher besonders zur Ermittlung von Übertragungswegen und zur Ortung von Quellen.

Rechentechnisch wird die Kreuzkorrelationsfunktion in der Regel über die inverse Fouriertransformation des Kreuzleistungsspektrums ermittelt:

Verbindung mit der Kreuzkovarianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eines der Signale oder nullsymmetrisch, d.h. ihr Mittelwert über das Signal ist Null oder , ist die Kreuzkorrelation identisch mit der Kreuzkovarianz. Bekannte Vertreter der nullsymmetrischen Funktionen sind zum Beispiel die Sinus- und Kosinusfunktionen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Einführung in die Systemtheorie. 4. Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. auf englisch cross-autocorrelation, Google Books