Ky-Fan-Ungleichung

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In der Mathematik wird als Ky-Fan-Ungleichung eine von Ky Fan entdeckte und erstmals von (Lit.: Beckenbach und Bellman, 1983) publizierte Ungleichung bezeichnet. Ihre Bedeutung liegt vor allem darin, dass sie durch ihre Ähnlichkeit mit der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel Ausgangspunkt für weitere Verallgemeinerungen ist.

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der einfachsten Form lautet die Ky-Fan-Ungleichung folgendermaßen:

Falls für Zahlen mit sind, dann gilt

.

Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn .

Bezeichnet man mit das arithmetische Mittel und mit das geometrische Mittel der Zahlen sowie mit das arithmetische Mittel und mit das geometrische Mittel der Zahlen , so nimmt die Ky-Fan-Ungleichung die Form

an; die Ähnlichkeit zur Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel wird damit deutlich.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein einfacher Beweis für die Ky-Fan-Ungleichung ergibt sich, wenn man die Jensensche Ungleichung auf die Funktion anwendet, die für konkav ist. Dieser Beweis liefert unmittelbar eine Verallgemeinerung der Ky-Fan-Ungleichung mit gewichteten Mittelwerten:

,

wobei für die Gewichte und gelten muss.

Verwandte Ungleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(Lit.: Wang und Wang, 1984) haben die Ky-Fan-Ungleichung auf die harmonischen Mittelwerte und erweitert:

.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]