Länge (Algebra)

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Im mathematischen Teilgebiet der Algebra bezeichnet die Länge ein Maß für die Größe eines Moduls.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Modul über einem Ring . Die Länge von ist das Supremum der Längen von Ketten von Untermoduln der Form[1]

Die Länge wird oft mit oder bezeichnet.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

exakt, so ist ; sind zwei dieser Zahlen endlich, so ist es auch die dritte.
  • Eine Kompositionsreihe ist eine Kette von Untermodulen, die einfache Subquotienten besitzt. Die Länge jeder Kompositionsreihe ist gleich der Länge des Moduls.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Vektorräume haben genau dann endliche Länge, wenn sie endlichdimensional sind; in diesem Fall ist ihre Länge gleich ihrer Dimension.
  • Der -Modul hat unendliche Länge: Für jede natürliche Zahl ist
eine Kette von Untermoduln der Länge .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Henning Krause, Claus Michael Ringel ed.: Infinite length modules. Birkhäuser, Basel 2000, ISBN 3-7643-6413-0.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Siegfried Bosch: Algebra, 6. Auflage 2006, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, S. 72.
  2. Henning Krause, Claus Michael Ringel ed.: Infinite length modules. Birkhäuser, Basel 2000, ISBN 3-7643-6413-0, S. 3.