Länge (Algebra)

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Im mathematischen Teilgebiet der Algebra bezeichnet die Länge ein Maß für die Größe eines Moduls.

Definition[Bearbeiten]

Es sei M ein Modul über einem Ring A. Die Länge von M ist das Supremum der Längen n von Ketten von Untermoduln der Form[1]

0=N_0\subsetneq N_1\subsetneq N_2\subsetneq\ldots\subsetneq N_n=M.

Die Länge wird oft mit \ell _A(M) oder \ell (M) bezeichnet.

Eigenschaften[Bearbeiten]

0\to M'\to M\to M''\to 0
exakt, so ist \ell(M)=\ell(M')+\ell(M''); sind zwei dieser Zahlen endlich, so ist es auch die dritte.
  • Eine Kompositionsreihe ist eine Kette von Untermodulen, die einfache Subquotienten besitzt. Die Länge jeder Kompositionsreihe ist gleich der Länge des Moduls.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Vektorräume haben genau dann endliche Länge, wenn sie endlichdimensional sind; in diesem Fall ist ihre Länge gleich ihrer Dimension.
  • Der \mathbb Z-Modul \mathbb Z hat unendliche Länge: Für jede natürliche Zahl n ist
0\subset 2^n\mathbb Z\subset 2^{n-1}\mathbb Z\subset\ldots\subset\mathbb Z
eine Kette von Untermoduln der Länge n+1.

Literatur[Bearbeiten]

  •  Henning Krause, Claus Michael Ringel ed.: Infinite length modules. Birkhäuser, Basel 2000, ISBN 3-7643-6413-0.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Siegfried Bosch: Algebra, 6. Auflage 2006, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, S. 72.
  2.  Henning Krause, Claus Michael Ringel ed.: Infinite length modules. Birkhäuser, Basel 2000, ISBN 3-7643-6413-0, S. 3.