Lösungsmenge

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In der Mathematik wird die Menge der Lösungen einer Gleichung, einer Ungleichung, eines Systems von Gleichungen und Ungleichungen oder allgemein Menge von (logischen) Aussagen oft als Lösungsmenge bezeichnet.

Lösungsmenge[Bearbeiten]

Allgemein betrachtet man eine Menge von Aussagen mit Parametern, die Variablen oder Unbekannte genannt werden, zum Beispiel eine Gleichung, ein Gleichungssystem oder eine Ungleichung. Als Lösungsmenge L bezeichnet man nun die Menge der Belegungen dieser Variablen, sodass alle Aussagen der Menge wahr sind. Lösungsmengen können nach ihrer Größe wie folgt klassifiziert werden:

  • |L| = 0: es gibt keine Lösung (die Aussagen sind unerfüllbar; die Lösungsmenge ist leer)
  • |L| = 1: es gibt genau eine Lösung (die Aussagen sind eindeutig erfüllbar; die Lösungsmenge besteht aus genau einem Element)
  • |L| > 1: es gibt mehrere, möglicherweise unendlich viele, Lösungen (die Aussagen sind erfüllbar, aber nicht eindeutig; die Lösungsmenge besteht aus mehr als einem Element)

Dabei hängt die Lösungsmenge sowohl von der Aussagenmenge selbst, als auch vom Definitionsbereich der Variablen ab. So hat beispielsweise die Gleichung x^2=-1 für x\in\mathbb R (reelle Zahlen) keine Lösung, hingegen für x\in\mathbb C (komplexe Zahlen) zwei Lösungen.

Lösungsraum[Bearbeiten]

Die Lösungsmenge eines homogenen, beziehungsweise inhomogenen linearen Gleichungssystems ist immer ein Vektorraum, beziehungsweise ein affiner Raum. Hat die Lösungsmenge eine solche Struktur, so spricht man auch von einem Lösungsraum. Ist Ax=b ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, ist also A die Abbildungsmatrix der Abbildung \Phi\colon V\to W und \Phi eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen V und W und ist 0\ne b\in W, dann gibt es drei Möglichkeiten:

  • Die Lösungsmenge ist leer. Dies ist genau dann der Fall, wenn die rechte Seite b nicht im Bild der Abbildung liegt.
  • Es existiert genau eine Lösung x, nämlich wenn der Kern K der Abbildung nur aus dem Nullvektor besteht.
  • Es gibt unendlich viele Lösungen, wobei sich alle Lösungen aus einer beliebigen Lösung x_0 durch Superposition mit den Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung Ax=0 ergeben. Man nennt x_0 in diesem Zusammenhang eine Partikularlösung. Die Lösungsmenge ist also der affine Raum x_0+K.

Beispiele[Bearbeiten]

Es ist jeweils eine Gleichung und ihre Lösungsmenge für  x,y \in \mathbb R angegeben:

\begin{matrix}
x & + & 2y & = & 8\\
2x & + & y & = & 7\\
\end{matrix} \qquad L = \{ (2;3) \}

Literatur[Bearbeiten]