Quadratwurzel

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Graph der Quadratwurzel-Funktion
In doppeltlogarithmischer Darstellung wird der Graph der Quadratwurzel zu einer Geraden mit Steigung 1/2

Die Quadratwurzel (umgangssprachlich Wurzel; englisch square root, kurz sqrt) einer nichtnegativen Zahl ist jene (eindeutig bestimmte) nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl ist. Das Symbol für die Quadratwurzel ist das Wurzelzeichen , die Quadratwurzel der Zahl wird also durch dargestellt. Dabei wird die Zahl beziehungsweise der Term unter der Wurzel als Radikand bezeichnet. Weniger verbreitet ist die ausführlichere Schreibweise Außerdem kann man die Quadratwurzel als Potenz ausdrücken: ist gleichwertig mit Zum Beispiel ist wegen und die Quadratwurzel von gleich .

Da die Gleichung für zwei Lösungen hat, definiert man üblicherweise die Quadratwurzel als die nichtnegative der beiden Lösungen, d. h. es gilt immer Damit erreicht man, dass der Begriff der Quadratwurzel eindeutig ist. Die beiden Lösungen der Gleichung sind somit und

Vorbemerkung zu den Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei der formalen Definition der Quadratwurzel sind zwei Probleme zu berücksichtigen:

  • Wenn man sich auf nichtnegative rationale Zahlen beschränkt, dann ist die Quadratwurzel in vielen Fällen nicht definiert. Schon in der Antike fand man heraus, dass etwa die Zahl keine rationale Zahl sein kann (siehe Euklids Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2).
  • Im Allgemeinen existieren zwei verschiedene Zahlen, deren Quadrate mit einer vorgegebenen Zahl übereinstimmen. Beispielsweise wäre wegen auch die Zahl ein möglicher Kandidat für die Quadratwurzel aus .

Das Symbol für die Quadratwurzel wurde zum ersten Mal während des 16. Jahrhunderts benutzt. Es wird vermutet, dass das Zeichen eine modifizierte Form des kleinen r ist, das als Abkürzung für das lateinische Wort „radix“ (Wurzel) steht. Ursprünglich wurde das Symbol dem Radikanden vorangestellt; die waagerechte Verlängerung fehlte. Noch Carl Friedrich Gauß verwendete daher Klammern für kompliziertere Wurzelausdrücke und schrieb zum Beispiel anstelle von

Im Englischen wird die Quadratwurzel als „square root“ bezeichnet, weshalb in vielen Programmiersprachen die Bezeichnung „sqrt“ für die Quadratwurzelfunktion verwendet wird.

Quadratwurzeln aus reellen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schaubild der Quadratfunktion (rot und blau). Durch Spiegelung allein der blauen Hälfte an der Winkelhalbierenden des I. Quadranten entsteht das Schaubild der Quadratwurzelfunktion (grün).

Definition: Die Quadratwurzel einer nichtnegativen reellen Zahl ist diejenige nichtnegative reelle Zahl , deren Quadrat gleich ist.

Gleichwertig dazu kann die reelle Quadratwurzel als Funktion so definiert werden: Sei

die (bijektive) Einschränkung der Quadratfunktion auf die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen. Die Umkehrfunktion dieser Funktion heißt Quadratwurzelfunktion

Bemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Zu beachten ist, dass die durch erklärte Quadratfunktion für alle reellen Zahlen definiert, aber nicht umkehrbar ist. Sie ist weder injektiv noch surjektiv.
  • Die Einschränkung der Quadratfunktion ist umkehrbar und wird durch die reelle Wurzelfunktion umgekehrt. Da nur nichtnegative reelle Zahlen als Bilder von auftreten, ist die reelle Wurzelfunktion nur für diese Zahlen definiert.
  • Durch die vor der Umkehrung gemachte Einschränkung von auf nichtnegative reelle Zahlen sind die Werte der Quadratwurzelfunktion nichtnegative Zahlen. Die Einschränkung der Quadratfunktion auf andere Teilmengen von , in denen verschiedene reelle Zahlen stets verschiedene Quadrate haben, würde zu anderen Umkehrfunktionen führen, diese werden aber nicht als reelle Quadratwurzelfunktion bezeichnet.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quadratzahlen und deren Quadratwurzeln
Radikand Radix Quadratwurzel Radikand Radix Quadratwurzel
1 1 121 11
4 2 144 12
9 3 169 13
16 4 196 14
25 5 225 15
36 6 256 16
49 7 289 17
64 8 324 18
81 9 361 19
100 10 400 20

Eigenschaften und Rechenregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Eigenschaften der Quadratwurzelfunktion ergeben sich aus den Eigenschaften der auf die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen eingeschränkten Quadratfunktion:

  • für
  • für .
  • , d. h. die Quadratwurzelfunktion ist streng monoton wachsend.
  • gilt mit dem reellen Betrag für beliebige reelle Zahlen .
  • Dagegen gilt nur für nichtnegatives .
  • Die Quadratwurzelfunktion ist auf differenzierbar, dort gilt .
  • An der Stelle 0 ist sie nicht differenzierbar, ihr Schaubild besitzt dort eine senkrechte Tangente mit der Gleichung .
  • Sie ist auf jedem abgeschlossenen Teilintervall ihres Definitionsbereichs Riemann-integrierbar, eine ihrer Stammfunktionen ist .

Berechnung von Quadratwurzeln aus reellen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rationale (Näherungs-) Werte
einiger Quadratwurzeln

Selbst dann, wenn die Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl gezogen werden soll, ist das Ergebnis häufig eine irrationale Zahl, deren Dezimalbruchentwicklung also ein nicht-periodischer, nicht abbrechender Dezimalbruch ist (nämlich genau dann, wenn das Ergebnis nicht natürlich ist). Die Berechnung einer Quadratwurzel, die keine rationale Zahl ist, besteht also darin, einen Näherungswert ausreichender Genauigkeit zu bestimmen. Dazu gibt es eine Reihe von Möglichkeiten:

Schriftliches Wurzelziehen
Hierbei handelt es sich um einen Algorithmus ähnlich dem gängigen Verfahren der schriftlichen Division.
Intervallschachtelung
Dieses Verfahren ist recht leicht zu verstehen, wenn auch in der praktischen Durchführung sehr mühsam.
Beispiel (Näherungswert für ):
Aus und folgt, dass zwischen 1 und 2 liegen muss. Daher probiert man , usw. durch. Aus und erkennt man, dass zwischen 1,4 und 1,5 liegen muss. Fortsetzung dieses Verfahrens mit immer mehr Nachkommastellen liefert schließlich einen Näherungswert mit der gewünschten Genauigkeit:
Babylonisches Wurzelziehen oder Heron-Verfahren
Dieses Iterationsverfahren wird häufig bei der Programmierung der Wurzelberechnung für Taschenrechner verwendet, da es schnell konvergiert. Es handelt sich um das Newton-Verfahren zum Auffinden von Nullstellen, angewandt auf die Funktion .
Taylorreihen-Entwicklung
Die Taylorreihen-Entwicklung von mit Entwicklungspunkt 1 kann mit Hilfe der binomischen Reihe gefunden werden. Die Reihe konvergiert für punktweise gegen den Funktionswert der Wurzelfunktion.
Berechnung mittels CORDIC-Algorithmus
Dieses Verfahren wird vor allem in Rechenwerken, FPUs und Mikrocontrollern eingesetzt.

Ermittlung der Quadratwurzel auf grafischem Wege[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Möglichkeit bietet der Kathetensatz: Die Zahl , deren Quadratwurzel gesucht ist, wird auf einer Zahlengeraden von Null aus aufgetragen. Über der Strecke zwischen und wird ein Halbkreis mit Radius gezeichnet (Thaleskreis). Bei wird ein Lot zur Grundlinie errichtet, das den Halbkreis schneidet (Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks). Der Abstand dieses Schnittpunkts zum Nullpunkt ist die Quadratwurzel von (Kathete).

Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Wurzelziehen entspricht in der komplexen Ebene einer Winkelhalbierung. Beispiel:

Ist eine von Null verschiedene komplexe Zahl, so besitzt die Gleichung

genau zwei Lösungen für , die man auch als Wurzeln oder Quadratwurzeln von bezeichnet. Diese liegen in der Gaußschen Zahlenebene auf den beiden Schnittpunkten des Kreises um 0 mit dem Radius und der Winkelhalbierenden des Winkels zwischen der positiven -Achse und . Diejenige der beiden Wurzeln, die in der rechten Halbebene liegt, nennt man den Hauptwert der Wurzel.

Schreibt man die komplexe Zahl in der Form

wobei und reell sind mit und , so gilt für den Hauptwert der Wurzel:

Der zweite Wurzelwert (der Nebenwert) ergibt sich durch Punktspiegelung (180°-Drehung) am Nullpunkt:

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die komplexe Funktion „Quadriere z“, besitzt genau wie die reelle Quadratfunktion keine Umkehrfunktion, denn sie ist nicht injektiv, aber im Gegensatz zu den reellen Zahlen surjektiv, das heißt, jede komplexe Zahl ist das Quadrat einer komplexen Zahl. Man kann daher analog zu den reellen (nichtnegativen) Quadratwurzeln komplexe Quadratwurzelfunktionen definieren, indem man eine Einschränkung des Definitionsbereichs von auf eine Teilmenge der komplexen Zahlen vornimmt, auf der injektiv ist und surjektiv bleibt. Je nachdem, welche Teilmenge man dafür auswählt, erhält man als Umkehrung unterschiedliche Zweige der Quadratwurzelfunktion.

Der Hauptzweig der komplexen Quadratwurzelfunktion ergibt sich, wenn man als Definitionsbereich von

zugrunde legt, dies ist die rechte Halbebene der komplexen Zahlenebene, wobei von deren Rand nur die Zahlen mit nichtnegativem Imaginärteil zu gehören. Die Einschränkung von auf ist eine bijektive Abbildung von auf die komplexen Zahlen, daher ist ihre Umkehrfunktion, der Hauptzweig der Quadratwurzel auf ganz definiert. Den Wert dieser Umkehrfunktion nennt man den Hauptwert der Quadratwurzel von . Wenn mit eine bestimmte komplexe Zahl gemeint ist, dann ist es dieser Hauptwert.

Ist in kartesischen Koordinaten gegeben, also mit reellen Zahlen und , dann ergibt sich

für den Hauptwert der Quadratwurzel, wobei die Funktion für negative den Wert −1 und ansonsten (also auch für und damit anders als bei der Vorzeichenfunktion ) den Wert 1 hat:

Der einzige Nebenzweig von ist

Ist in Polarkoordinaten gegeben, mit , dann ist der Hauptwert der Quadratwurzel durch

gegeben, wobei die reelle (nichtnegative) Quadratwurzel von ist. Der Nebenwert ergibt sich wieder als .

Der Betrag der beiden Wurzeln ergibt sich demnach als die Wurzel aus dem Betrag der komplexen Zahl. Beim Hauptwert wird das Argument („der Winkel von z“, s. u.) halbiert. Die andere Lösung ergibt sich geometrisch durch Punktspiegelung dieses Hauptwerts am Ursprung.

Das Argument einer komplexen Zahl ist der orientierte Winkel in der komplexen Zahlenebene, die Punkte sind und in reellen Koordinaten. Im Bild zum folgenden Beispiel sind das Argument von und das Argument von farbig gekennzeichnet.

Beispiel: Berechnung einer komplexen Quadratwurzel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bsp Quadratwurzel C.png

Gesucht sind die Quadratwurzeln aus Zunächst wird der Betrag des Radikanden ermittelt:

Damit ergibt sich der Hauptwert der Quadratwurzel zu

Die andere Wurzel erhält man durch Vorzeichenumkehr:

Quadratwurzeln modulo n[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auch im Restklassenring lassen sich Quadratwurzeln definieren. Ganz analog zu den reellen und komplexen Zahlen heißt eine Quadratwurzel von , wenn gilt:

Allerdings muss man sich zur Berechnung von Quadratwurzeln modulo anderer Methoden bedienen als beim Berechnen reeller oder komplexer Quadratwurzeln. Um die Quadratwurzeln von modulo zu bestimmen, kann man folgendermaßen vorgehen:

Zuerst bestimmt man die Primfaktorzerlegung

des Moduls und anschließend die Lösungen modulo der einzelnen Primzahlpotenzen . Diese Lösungen setzt man schließlich unter Anwendung des Chinesischen Restsatzes zur gesuchten Lösung zusammen.

Berechnung von Quadratwurzeln modulo einer Primzahl p[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für Primzahlen ungleich 2 geschieht das Berechnen der Quadratwurzeln von so:

Um zu testen, ob überhaupt eine Quadratwurzel in hat, berechnet man den Wert des Legendre-Symbols

,

denn es gilt:

Im ersten Falle besitzt keine Quadratwurzel in und im zweiten Fall nur die Quadratwurzel 0. Der interessante Fall ist also der dritte Fall, und daher nehmen wir im Folgenden an, dass gilt.

Berechnung für den Fall p mod 4 = 3[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist das Legendre-Symbol gleich 1, dann sind

die beiden Quadratwurzeln von modulo .

Berechnung für den Fall p mod 4 = 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist das Legendre-Symbol gleich 1, dann sind

die beiden Quadratwurzeln von modulo . Hierbei wählt man so, dass

gilt. Dazu kann man einfach verschiedene Werte von testen. Die Folge ist rekursiv durch

definiert.

Rechenbeispiel für und :

Nach obiger Formel sind die Quadratwurzeln von durch

gegeben. Für findet man durch Probieren den Wert , denn es gilt:

Die Werte für und ergeben sich so:

Einsetzen dieser Werte ergibt

Das heißt: 15 und 22 sind die beiden Quadratwurzeln von 3 modulo 37.

Quadratwurzeln aus Matrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Quadratwurzel einer Matrix

Als Wurzel einer quadratischen Matrix bezeichnet man alle Matrizen , die mit sich selbst multipliziert ergeben:

Wie schon bei der Wurzel aus reellen oder komplexen Zahlen ist die Wurzel aus Matrizen nicht unbedingt eindeutig. Betrachtet man aber nur positiv definite symmetrische Matrizen, so ist die Wurzelbildung eindeutig: Jede positiv definite symmetrische Matrix besitzt eine eindeutig bestimmte positiv definite symmetrische Wurzel Man erhält sie, indem man mithilfe einer orthogonalen Matrix diagonalisiert (dies ist nach dem Spektralsatz stets möglich) und dann die Diagonalelemente durch ihre Wurzeln ersetzt; dabei ist jedoch stets die positive Wurzel zu wählen. Siehe auch Cholesky-Zerlegung. Die Eindeutigkeit folgt daraus, dass die Exponentialabbildung ein Diffeomorphismus vom Vektorraum der symmetrischen Matrizen auf die Teilmenge der positiv definiten symmetrischen Matrizen ist.

Quadratwurzel aus einem genäherten Integral-Operator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann die bestimmte Integral-Funktion von 0 bis mit und einer vorgegebenen Funktion , die an den äquidistanten Stützstellen die Werte annimmt, als Matrizenmultiplikation wie folgt numerisch nähern (für ):

Es ist anschaulich klar, dass man diese Operation wiederholen kann und damit das Doppel-Integral erhält:

So kann man die Matrix als numerisch genäherten Integral-Operator auffassen.

Die Matrix ist nicht diagonalisierbar und ihre jordansche Normalform lautet:

Um eine Quadratwurzel daraus zu ziehen, könnte man so vorgehen wie bei den nicht diagonalisierbaren Matrizen beschrieben. Es gibt jedoch in diesem Fall eine direktere formale Lösung wie folgt:

mit , und .

Darin bezeichnen die Indizes von die Subdiagonalen (0 ist die Diagonale) und der Exponent ist gleich . Setzt man als reell und positiv voraus, so ist reell und definitionsgemäß positiv.

Damit kann man ein „halbes“ bestimmtes Integral von 0 bis der Funktion wie folgt numerisch nähern:

Sucht man alle Operatoren, die mit sich selbst multipliziert den angenäherten Integral-Operator ergeben, so muss man zusätzlich das negative Vorzeichen einsetzen, das heißt, es gibt zwei Lösungen .

Zum Herleiten der Formel kann man zunächst invertieren, das Resultat mit potenzieren und zuletzt nochmals invertieren.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Quadratwurzel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Quadratwurzel – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen