Laplace-Formel

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Pierre-Simon Laplace (Gemälde aus dem 19. Jahrhundert)

Die Laplace-Formel ist eine mathematische Formel aus der elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung. Hat ein Zufallsexperiment nur endlich viele Elementarereignisse und haben diese alle die gleiche Wahrscheinlichkeit, so gilt für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses :

oder formeller

,

wenn und die Anzahl der Elemente des Ereignisses bzw. der Ergebnismenge bezeichnen.

Benannt ist die Formel nach dem französischen Mathematiker und Astronomen Pierre Simon Laplace (1749–1827).

Beispiele und Gegenbeispiele

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Rouletterad
Urnenmodell
Spielwürfel

Beim Roulette wird eine der 37 Zahlen 0 bis 36 ausgespielt. Hierbei soll aufgrund der Beschaffenheit des Roulette-Tellers und der Vorgehensweise bei den Ausspielungen gewährleistet sein, dass die Roulette-Kugel mit derselben Wahrscheinlichkeit auf jeder der 37 Zahlen liegen bleibt. Unter diesen Voraussetzungen wird jede der 37 Zahlen mit der Wahrscheinlichkeit ausgespielt.

Ziehen aus einer Urne

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Beim einfachen zufälligen Ziehen aus einer Urne mit gleichartigen nicht unterscheidbaren Kugeln wird jede Kugel mit der Wahrscheinlichkeit gezogen.

Doppelwurf eines Spielwürfels

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Beim zweimaligen Werfen eines Spielwürfels gibt es 36 mögliche Ergebnisse für die Augenzahlkombinationen

.

Gleichwahrscheinliche Ereignisse

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Ist der Spielwürfel ein Laplace-Würfel, so beträgt bei vier Ergebnissen die Augensumme 9, nämlich bei (6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6), wobei alle Würfe mit der Augenzahl 9 gleich wahrscheinlich sind. Deshalb ist

die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses , die Augensumme 9 zu erhalten.

Nicht gleichwahrscheinliche Ereignisse

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Auch wenn es sich bei dem Spielwürfel um einen Laplace-Würfel handelt, sind die elf Ereignisse des Auftretens der Augensummen 2 bis 12 nicht gleich wahrscheinlich. Darüber hinaus ist es bei diesem Experiment unmöglich, gleichwahrscheinliche Augensummen durch Würfelmanipulation zu erreichen.[1]

Dies lässt sich mittels eines Widerspruchsbeweises zeigen.

Es sei die Wahrscheinlichkeit, dass mit dem ersten Würfel die Augenzahl und die Wahrscheinlichkeit, dass mit dem zweiten Würfel die Augenzahl geworfen wird. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 2 und die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 12.

Wären alle elf Wahrscheinlichkeiten der Augensummen 2 bis 12 identisch, so müsste jede dieser Wahrscheinlichkeiten betragen.

Für die Wahrscheinlichkeit der Augensumme 7 würde dann gelten:

(*)

Wegen für alle reellen Zahlen ergibt sich ein Widerspruch zu (*).

Damit ist bewiesen, dass die Augensummen 2 bis 12 niemals gleich wahrscheinlich sein können.

Geschlecht eines neugeborenen Kindes

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Statistisch ist nachgewiesen, dass Knaben- und Mädchengeburten nur annähernd gleich wahrscheinlich sind, wenn auch in vielen stochastischen Aufgabenstellungen Gleichwahrscheinlichkeit angenommen wird.[2]

  • Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5.

Einzelnachweise

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  1. Ross Honsberger: Gitter - Reste - Würfel Friedrich Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1984, ISBN 978-3-528-08476-9, S. 130 und 131
  2. Karl Bosch: Statistik für Nichtstatistiker - Zufall und Wahrscheinlichkeit R. Oldenbourg Verlag München Wien 2007, ISBN 978-3-486-58219-2, S. 16–21