Lemma von Jordan

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Das Lemma von Jordan (nach Marie Ennemond Camille Jordan) ist ein Hilfsmittel der Funktionentheorie. Es wird zusammen mit dem Residuensatz verwendet, um Integrale aus der reellen Analysis zu berechnen.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist und konvergiert in der oberen Halbebene gleichmäßig gegen Null für alle , dann gilt

für .

Dies gilt auch, wenn ist und zusätzlich in der oberen Halbebene gleichmäßig gegen Null strebt. Völlig analog lässt sich das Lemma für die untere Halbebene formulieren.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Integrationsweg als halbkreisförmige Kurve , die durch das reelle Intervall [-R,R] geschlossen wird

Viele uneigentliche Integrale der Form lassen sich, falls sie existieren, in der folgenden Weise berechnen: Man integriert auf einer geschlossenen halbkreisförmigen Kurve , die entsteht, wenn zuerst auf der reellen Achse von nach und von dort im Halbkreisbogen zurück nach integriert.

Man stellt fest, dass für das Integral verschwindet und somit

gilt.

Nach dem Residuensatz ist dann

.

Um dabei immer wiederkehrende Abschätzungen für Integrale der Form zu vermeiden, benutzt man das Lemma von Jordan.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei und . Hier ist das Jordan-Lemma anwendbar und es gilt

Also gilt für das Integral über die reelle Achse

.

Spaltet man mit Hilfe der Eulerschen Identität in Real- und Imaginärteil auf, so erhält man die Gleichheit

.

2. Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei . Analog zum 1. Beispiel ist und somit

.

Beweis des Lemmas von Jordan[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Integral lässt sich nach Substitution schreiben als . Abschätzung des Betrages nach oben ergibt

mit . Daraus folgt

,

da der Integrand bezüglich achsensymmetrisch ist. Nach der Jordanschen Ungleichung ist für alle und daher

für .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]