Lemma von Rasiowa-Sikorski

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Das Lemma von Rasiowa–Sikorski, benannt nach den polnischen Mathematikern Roman Sikorski und Helena Rasiowa, ist in der Mengenlehre grundlegend für die Entwicklung der Forcing-Methode. Es postuliert die Existenz von Filtern mit gewissen Eigenschaften.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Quasiordnung, und eine höchstens abzählbare Menge von dichten Teilmengen von . Dann gibt es für jedes einen Filter mit den Eigenschaften:

  • , für alle .

Filter mit der letzten Eigenschaft werden auch -generisch genannt.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Aufzählung der Mengen in und definiere für rekursiv:

"ein Element mit ".

Ein solches existiert aufgrund der Dichtheit von . Dann ist die Menge ein derartiger Filter.

Erweiterungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es kann gezeigt werden, dass die Aussage im Allgemeinen falsch wird, wenn die Kardinalität hat. Die Frage, ob das Lemma für Kardinalzahlen mit gilt, führt zu Martins Axiom.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Keneth: Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland (1980), ISBN 0-444-85401-0.