Lemma von Rasiowa-Sikorski

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Das Lemma von Rasiowa–Sikorski, benannt nach den polnischen Mathematikern Roman Sikorski und Helena Rasiowa, ist in der Mengenlehre grundlegend für die Entwicklung der Forcing-Methode. Es postuliert die Existenz von Filtern mit gewissen Eigenschaften.

Aussage[Bearbeiten]

Sei \langle P,\le_P\rangle eine Quasiordnung, und \mathcal{D} eine höchstens abzählbare Menge von dichten Teilmengen von P. Dann gibt es für jedes p_0\in P einen Filter F\subseteq P mit den Eigenschaften:

  • p_0\in F
  • D\cap F\neq\emptyset, für alle D\in\mathcal{D}.

Filter mit der letzten Eigenschaft werden auch \mathcal{D}-generisch genannt.

Beweis[Bearbeiten]

Sei D_1,D_2,\dots eine Aufzählung der Mengen in \mathcal{D} und definiere für n\ge 0 rekursiv:

p_{n+1}:="ein Element p\in D_{n+1} mit p\le p_{n}".

Ein solches p_{n+1} existiert aufgrund der Dichtheit von D_{n+1}. Dann ist die Menge F:=\{p\in P\mid\exists n\in\N:p_n\le p\} ein derartiger Filter.

Erweiterungen[Bearbeiten]

Es kann gezeigt werden, dass die Aussage im Allgemeinen falsch wird, wenn \mathcal{D} die Kardinalität 2^{\aleph_0} hat. Die Frage, ob das Lemma für Kardinalzahlen \kappa mit \aleph_0<\kappa<2^{\aleph_0} gilt, führt zu Martins Axiom.

Literatur[Bearbeiten]

  • Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Keneth: Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland (1980), ISBN 0-444-85401-0.