Martins Axiom

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Martins Axiom ist in der Mengenlehre eine Aussage, die in dem üblichen Zermelo-Fraenkelschen System weder beweis- noch widerlegbar ist. Es wurde 1970 von Donald A. Martin und Robert M. Solovay eingeführt.

Motivation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Halbordnung und eine Menge von dichten Teilmengen von . Gesucht ist ein Filter auf , der alle Elemente aus trifft, d.h. nichtleer schneidet ( heißt dann -generischer Filter). Das Lemma von Rasiowa-Sikorski besagt, dass es für abzählbares immer möglich ist, ein solches zu finden. Für überabzählbares ist die Situation anders: Wenn

  • , oder
  • überabzählbare Antiketten besitzt,

gibt es im Allgemeinen keine -generischen Filter.

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Martins Axiom () ist die Aussage

„Für jede Halbordnung , die nur abzählbare Antiketten besitzt, und jede Menge dichter Teilmengen mit gibt es einen -generischen Filter .“

Gilt die Kontinuumshypothese, so ist jedes mit notwendig abzählbar, also gilt trivialerweise . Es lassen sich aber auch Modelle von konstruieren, in denen die Kontinuumshypothese nicht gilt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Keneth: Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland (1980), ISBN 0-444-85401-0.
  • Martin, D. A.; Solovay, R. M. : Internal Cohen extensions, Ann. Math. Logic 2 (2) (1970): 143–178