Lemma von Riemann-Lebesgue

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Das Lemma von Riemann-Lebesgue, auch Satz von Riemann-Lebesgue, ist ein nach Bernhard Riemann und Henri Lebesgue benannter mathematischer Satz aus der Analysis. Er besagt, dass die Fourier-Transformationen von integrablen Funktionen im Unendlichen verschwinden.

Formulierung des Satzes[Bearbeiten]

Sei f\in L^1(\R), also f:\R\rightarrow \R eine messbare Funktion mit

\int_{-\infty}^\infty |f(x)| \mathrm{d}x < \infty

und \hat{f} die Fourier-Transformierte von f, also

\hat{f}:\R \rightarrow \R, \xi\mapsto  \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-ix\xi}\mathrm{d}x.

Dann verschwindet \hat{f} im Unendlichen, das heißt |\hat{f}(\xi)| \xrightarrow{\xi\to\infty} 0 oder formaler, dass es zu jedem \epsilon > 0 eine reelle Zahl R>0 gibt, so dass |\hat{f}(\xi)| < \epsilon für alle |\xi|>R.[1][2]

Da die Fourier-Transformationen von integrablen Funktionen stetig sind, handelt es sich bei \hat{f} um eine stetige Funktion, die im Unendlichen verschwindet. Bezeichnet man den Vektorraum der im Unendlichen verschwindenden Funktionen mit C_0(\R), so lässt sich das Lemma von Riemann-Lebesgue auch folgendermaßen formulieren: Die Fourier-Transformation auf L^1(\R) ist eine Abbildung von L^1(\R) nach C_0(\R).

Beweis[Bearbeiten]

Der sehr einfache Beweis[1] soll hier in groben Zügen vorgestellt werden. Für \xi \not= 0 liefert die Substitution \textstyle x\to x+\frac{\pi}{\xi}

\hat{f}(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-ix\xi}\mathrm{d}x = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(x+\frac{\pi}{\xi})e^{-ix\xi}e^{-i\pi}\mathrm{d}x = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty -f(x+\frac{\pi}{\xi})e^{-ix\xi}\mathrm{d}x ,

und wir haben eine zweite Formel für \hat{f}(\xi). Bildet man nun den Mittelwert aus beiden Formeln und nimmt Beträge, zieht diese unter das Integral, was den Exponentialterm zu 1 macht, so folgt

|\hat{f}(\xi)|\le \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty |f(x)-f(x+\frac{\pi}{\xi})|\mathrm{d}x,

und das konvergiert nach dem Satz von der majorisierten Konvergenz für \xi \to \infty gegen 0.

Andere Beweise zeigen den Satz zunächst für glatte Funktionen mit kompaktem Träger und nutzen dann aus, dass diese im Raum der integrablen Funktionen dicht liegen.[3]

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Funktionen mehrerer Veränderlicher[Bearbeiten]

Das Lemma von Riemann-Lebesgue lässt sich auf Funktionen f:\R^n \rightarrow \R verallgemeinern:

Es sei f:\R^n\rightarrow \R eine integrable Funktion, das heißt

\int_{-\infty}^\infty |f(x_1,\ldots, x_n)| \mathrm{d}x_1 \ldots \mathrm{d}x_n < \infty .

Ist \hat{f}:\R^n \rightarrow \R die Fourier-Transformierte

\hat{f}(\xi_1,\ldots, \xi_n) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-i x_1\xi_1 \ldots -i x_n\xi_n }\mathrm{d}x_1 \ldots \mathrm{d}x_n ,

so gilt |\hat{f}(\xi_1,\ldots, \xi_n)| \rightarrow 0 für \|(\xi_1,\ldots, \xi_n)\| \to \infty.[4]

Dabei ist \|\cdot \| irgendeine Norm auf dem \R^n, zum Beispiel die euklidische Norm.

Banachalgebren[Bearbeiten]

Die Menge der integrablen Funktionen, das heißt die Menge der L1-Funktionen, bildet mit der Faltung als Multiplikation und der 1-Norm eine Banachalgebra. In der harmonischen Analyse zeigt man, dass die Fourier-Transformation ein Spezialfall der abstrakten Gelfand-Transformation wird. Das Lemma von Riemann-Lebesgue folgt dann aus der Tatsache, dass die Gelfand-Transformation in den Raum der C0-Funktionen abbildet und der Gelfand-Raum von L^1(\R^n) mit \R^n identifiziert werden kann. Gleichzeitig wird dadurch das Lemma von Riemann-Lebesgue auf lokalkompakte abelsche Gruppen verallgemeinert.[5]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b M. J. Lighthill: Einführung in die Theorie der Fourier-Analysis und der verallgemeinerten Funktionen, BI-Hochschultaschenbücher (1966), Band 139, ISBN 3-411-00139-9, Kapitel 4: Das Riemann-Lebesgue'sche Lemma
  2. Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras I. Elementary Theory, Academic Press, New York (1983), ISBN 0-12-393301-3, Korollar 3.2.28 (iii)
  3. Otto Forster: Analysis 3. Integralrechnung im Rn mit Anwendungen. Vieweg Verlag (1981), ISBN 3-528-07252-0, §12, Corollar 2 zu Satz 1
  4. Hitoshi Kumano-go: Pseudo-differential Operators, MIT Press, Cambridge, Massachusetts (1982), ISBN 0-262-11080-6, Kapitel 1, §4, Theorem 4.1
  5. Walter Rudin: Fourier Analysis on Groups, 1962, Kapitel 1.2.3: The Fourier Transform