Lemma von Riemann-Lebesgue

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Das Lemma von Riemann-Lebesgue, auch Satz von Riemann-Lebesgue, ist ein nach Bernhard Riemann und Henri Lebesgue benannter mathematischer Satz aus der Analysis. Er besagt, dass die Fourier-Transformationen von integrablen Funktionen im Unendlichen verschwinden.

Formulierung des Satzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei , also eine messbare Funktion mit

und die Fourier-Transformierte von , also

.

Dann verschwindet im Unendlichen, das heißt oder formaler, dass es zu jedem eine reelle Zahl gibt, so dass für alle .[1][2]

Da die Fourier-Transformationen von integrablen Funktionen stetig sind, handelt es sich bei um eine stetige Funktion, die im Unendlichen verschwindet. Bezeichnet man den Vektorraum der im Unendlichen verschwindenden Funktionen mit , so lässt sich das Lemma von Riemann-Lebesgue auch folgendermaßen formulieren: Die Fourier-Transformation auf ist eine Abbildung von nach .

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Beweis[1] soll hier in groben Zügen vorgestellt werden. Wir nehmen zunächst vereinfachend an, dass stetig ist. Für liefert die Substitution

,

und wir haben eine zweite Formel für . Bildet man nun den Mittelwert aus beiden Formeln und nimmt Beträge, zieht diese unter das Integral, was den Exponentialterm zu 1 macht, so folgt

.

Aufgrund der Stetigkeit von konvergiert gegen für alle und . Außerdem gilt

.

Nach dem Satz von der majorisierten Konvergenz konvergiert also für gegen 0.

Die Annahme der Stetigkeit von kann auf Grund eines Dichtheitsarguments fallen gelassen werden. In der Tat liegen die stetigen Funktionen dicht in . Mit anderen Worten für jedes und jede Funktion existiert eine stetige Funktion , sodass gilt. Aufgrund der Eigenschaften der Fourier-Transformation folgt, dass dann auch . Wie vorher gezeigt verschwindet für und da beliebig gewählt werden kann folgt die gleiche Aussage für .

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Funktionen mehrerer Veränderlicher[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Lemma von Riemann-Lebesgue lässt sich auf Funktionen verallgemeinern:

Es sei eine integrable Funktion, das heißt

.

Ist die Fourier-Transformierte

,

so gilt für .[3]

Dabei ist irgendeine Norm auf dem , zum Beispiel die euklidische Norm.

Banachalgebren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Menge der integrablen Funktionen, das heißt die Menge der L1-Funktionen, bildet mit der Faltung als Multiplikation und der 1-Norm eine Banachalgebra. In der harmonischen Analyse zeigt man, dass die Fourier-Transformation ein Spezialfall der abstrakten Gelfand-Transformation wird. Das Lemma von Riemann-Lebesgue folgt dann aus der Tatsache, dass die Gelfand-Transformation in den Raum der C0-Funktionen abbildet und der Gelfand-Raum von mit identifiziert werden kann. Gleichzeitig wird dadurch das Lemma von Riemann-Lebesgue auf lokalkompakte abelsche Gruppen verallgemeinert.[4]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b M. J. Lighthill: Einführung in die Theorie der Fourier-Analysis und der verallgemeinerten Funktionen, BI-Hochschultaschenbücher (1966), Band 139, ISBN 3-411-00139-9, Kapitel 4: Das Riemann-Lebesgue'sche Lemma
  2. Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras I. Elementary Theory, Academic Press, New York (1983), ISBN 0-12-393301-3, Korollar 3.2.28 (iii)
  3. Hitoshi Kumano-go: Pseudo-differential Operators, MIT Press, Cambridge, Massachusetts (1982), ISBN 0-262-11080-6, Kapitel 1, §4, Theorem 4.1
  4. Walter Rudin: Fourier Analysis on Groups, 1962, Kapitel 1.2.3: The Fourier Transform