Lemma von Riesz

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Das Lemma von Riesz, benannt nach dem ungarischen Mathematiker Frigyes Riesz, ist ein Satz der Funktionalanalysis über abgeschlossene Unterräume von normierten Räumen.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben seien ein normierter Raum , ein abgeschlossener echter Untervektorraum von und eine reelle Zahl .

Dann existiert ein Element mit , so dass gilt [1] [2]:

.

Ist endlichdimensional oder allgemeiner reflexiv, dann kann gewählt werden.

Motivation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einem endlichdimensionalen euklidischen Raum gibt es zu jedem echten Teilraum einen darauf senkrecht stehenden Einheitsvektor . Der Abstand eines beliebigen Punktes aus zu beträgt dann mindestens Eins, der Wert Eins wird exakt für angenommen.

In einem normierten Raum ist der Begriff des „senkrecht Stehens“ im Allgemeinen nicht definierbar. Insofern ist die Formulierung des Lemmas von Riesz eine sinnvolle Verallgemeinerung. Auch ist es nicht selbstverständlich, dass außerhalb eines Teilraumes noch Vektoren mit positivem Abstand zu diesem existieren.

Beweisskizze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt einen Punkt außerhalb des echten Teilraumes . Da abgeschlossen ist, muss der Abstand von zu positiv sein. Sei ein vorgegeben und ein Punkt in mit

.

Wähle als Element :

Dieser ist normiert per Konstruktion. Für ein beliebiges gilt:

.

Für den Abstand gilt also:

.

Folgerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus dem Lemma von Riesz folgt, dass jeder normierte Raum, in dem die abgeschlossene Einheitskugel kompakt ist, endlichdimensional sein muss.[3] Auch die Umkehrung dieses Satzes ist richtig (Kompaktheitssatz von Riesz).

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Harro Heuser: Funktionalanalysis, Teubner-Verlag (1975), ISBN 3-519-02206-0, Hilfssatz 10.2
  2. Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces, Springer-Verlag (1984), ISBN 3-540-90859-5, Kap. I, Lemma auf Seite 2
  3. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 27.