Linealgeometrie

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Die Linealgeometrie bezeichnet die Einschränkung von Konstruktionsaufgaben der euklidischen Geometrie, bei der der Zirkel nicht verwendet werden darf (und somit auch keine Winkel oder anderen Zeichengeräte). Lediglich das Lineal (ohne Skaleneinteilung) darf verwendet werden. Manchmal wird auch zum Beispiel die Verwendung eines einzelnen Kreises zusätzlich erlaubt, die weitere Konstruktion darf dann aber nur noch mit dem Lineal erfolgen. Die Bezeichnung stammt von Johann Heinrich Lambert (in seinem Buch Freye Perspective, Zürich 1759, 1774). Die Linealgeometrie wurde außer von August Ferdinand Möbius[1] vor allem von Jakob Steiner und Karl Georg Christian von Staudt ausgebaut. Von Steiner und Jean Victor Poncelet stammt der Satz, dass Konstruktionen mit Zirkel und Lineal auch mit Lineal und einem vorgegebenen Kreis ausgeführt werden können.[2]

Beispiele[Bearbeiten]

Beispiel für Linealgeometrie (Tangenten an Kreis)

Gegeben sei ein Punkt A und ein Kreis (Mittelpunkt nicht bekannt). Gesucht sind die beiden Tangenten von A an den Kreis (siehe nebenstehende Abbildung). In der Linealgeometrie erhält man die Lösung folgendermaßen: Man zieht von A aus zwei Sekanten durch den Kreis und erhält die Punkte P1 bis P4. Diese verbindet man auf alle möglichen Arten und erhält die Schnittpunkte P und X. Zieht man jetzt eine Linie von P durch X, erhält man die beiden Tangentenpunkte T1 und T2.

Ein weiteres Beispiel ist die Bestimmung des vierten harmonischen Punkts (siehe Harmonische Teilung). Es ist nicht möglich, mit dem Lineal allein eine Parallele zu einer gegebenen Geraden zu zeichnen oder eine Strecke zu halbieren. Ist jedoch ein Halbierungspunkt vorgegeben, kann man eine Parallele konstruieren und umgekehrt: ist eine Parallele gegeben, kann man den Halbierungspunkt konstruieren.[3]

Quelle[Bearbeiten]

  • Linealgeometrie. In: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 12. Leipzig 1908, S. 572.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Möbius Von den metrischen Relationen in dem Gebiete der Lineal-Geometrie, Journal für reine und angewandte Mathematik, Band 4, 1829
  2. Steiner Die geometrischen Konstructionen, ausgeführt mittelst der geraden Linie und Eines festen Kreises, als Lehrgegenstand auf höheren Unterrichts-Anstalten und zur praktischen Benutzung, Ferdinand Dümmler, Berlin 1833, auch Werke, Band 1, S. 461, Berlin 1881; Poncelet Traité des propriétés projectives des figures, Paris 1822, Nr.351
  3. J. Sommer Elementare Geometrie vom Standpunkt der neueren Analysis aus, Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Band III, 1,2, S.790f