Linearisierung

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Bei der Linearisierung werden nichtlineare Funktionen oder nichtlineare Differentialgleichungen durch lineare Funktionen oder durch lineare Differentialgleichungen angenähert. Die Linearisierung wird angewandt, da lineare Funktionen oder lineare Differentialgleichungen einfach berechnet werden können und die Theorie umfangreicher als für nichtlineare Systeme ausgebaut ist.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anwendung findet die Linearisierung unter anderem in der Elektrotechnik und der Regelungstechnik zur näherungsweisen Beschreibung nichtlinearer Systeme durch lineare Systeme.

Das Ergebnis einer Netzwerkanalyse ist unter Umständen ein nichtlineares Gleichungssystem. Dies kann unter gewissen Voraussetzungen in ein lineares Gleichungssystem überführt werden. Nicht die einzige, aber die einfachste Methode der Linearisierung ist die Linearisierung in einem Arbeitspunkt. Nur diese ist in den folgenden Abschnitten beschrieben.

Tangente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Tangenten an sinus(x):
blau
grün

Das einfachste Verfahren zur Linearisierung ist das Einzeichnen der Tangente in den Graphen. Daraufhin können die Parameter der Tangente abgelesen werden, und die resultierende lineare Funktion (Punktsteigungsform der Geraden)

approximiert die Originalfunktion um den Punkt . Dabei ist der Anstieg im Punkt .

Wenn die Funktion in analytischer Form vorliegt, kann die Gleichung der Tangente direkt angegeben werden.

Der relative Fehler der Approximation ist

Für die Funktion gilt:

Die Bestimmung der Tangente entspricht der Bestimmung des linearen Glieds des Taylorpolynoms der zu approximierenden Funktion.

Multiplikation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Multiplikation im Signalflussplan ersetzt durch eine Addition
(Arbeitspunkte x1,AP, x2,AP und yAP wurden zur übersichtlicheren Darstellung weggelassen)

Befindet sich im Signalflussplan eine Multiplikationsstelle, so lässt sich diese durch Linearisierung in eine Additionsstelle umwandeln:

Linearisierung einer Multiplikation im Arbeitspunkt (AP):

Multiplikation durch Addition genähert:

Fehler:

Beispiel:

Wähle:
Fehler:

Division[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt

und

oder

Für die Geometrische Reihe gilt

Linearisierung einer Division dargestellt im Signalflussplan
.

Mit

und gilt
.

Damit ist die linearisierte Division

Linearisieren gewöhnlicher Differentialgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das bekannteste Beispiel für die Linearisierung einer nichtlinearen Differenzialgleichung ist das Pendel. Die Gleichung lautet:

Der nichtlineare Teil ist . Dieser wird für kleine Schwankungen um einen Arbeitspunkt approximiert durch:

Mit dem Arbeitspunkt gilt:

und damit die linearisierte Differenzialgleichung
.

Weitere Details sind in Zustandsraumdarstellung beschrieben.

Tangentialebene[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Darstellung als Signalflussplan

Soll eine gegebene Funktion in einem Punkt linearisiert werden, wird sich der Taylor-Formel bedient. Das Ergebnis entspricht der Tangentialebene in diesem Punkt.

Für die Funktion gilt in der Umgebung des Punktes :

Beispiel:

ergibt die Tangentialebene

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]