Lineare Funktion

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Dieser Artikel behandelt die Funktionen in der elementaren Analysis. Für lineare Funktionen in der linearen Algebra siehe Lineare Abbildung.

Als lineare Funktion wird oft (insbesondere in der Schulmathematik) eine Funktion der Form

also eine Polynomfunktion höchstens ersten Grades, bezeichnet.

Es handelt sich dabei jedoch nicht um eine lineare Abbildung im Sinne der linearen Algebra, sondern um eine affine Abbildung, da die Linearitätsbedingung im Allgemeinen nicht erfüllt ist. Man spricht deswegen auch von einer affin-linearen Funktion. Um eine lineare Abbildung bzw. lineare Funktion im Sinne der linearen Algebra handelt es sich nur im Spezialfall , also . Solche Funktionen werden auch als homogene lineare Funktion oder Proportionalität bezeichnet. In Anlehnung an diese Bezeichnung wird die Funktion für den Fall auch allgemeine lineare Funktion oder linear-inhomogene Funktion genannt. In diesem Artikel wird die häufig verwendete Bezeichnung lineare Funktion beibehalten.

Lineare Funktionen gehören zu den relativ einfachen Funktionen in der Mathematik. Sie sind stetig und differenzierbar. Viele Probleme lassen sich für lineare Funktionen leicht lösen; daher versucht man oft, komplizierte Problemstellungen durch lineare Zusammenhänge zu approximieren.

Graph[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Steigungsdreiecke am Graph der linearen Funktion

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. In kartesischen Koordinaten gilt

mit reellen Zahlen und , wobei (die Abszisse) eine unabhängige und (die Ordinate) die abhängige Variable ist.

Es gibt zahlreiche andere Bezeichnungskonventionen für den Funktionsterm, z. B. oder In Österreich wird häufig verwendet, in der Schweiz hingegen In Belgien findet man auch oder

Diese Darstellung bezeichnet man auch als die Normalform einer linearen Funktion. Ihre zwei Parameter lassen sich wie folgt interpretieren:

Der Graph einer linearen Funktion verläuft nie parallel zur y-Achse, da damit einem x mehr als ein y zugeordnet wäre, was in Widerspruch zur definitorisch geforderten (Rechts-) Eindeutigkeit einer Funktion stünde.

Bestimmung des Funktionsterms aus zwei Punkten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Steigung einer linearen Funktion durch zwei gegebene Punkte

Es wird vorausgesetzt, dass die Punkte und auf dem Graphen der linearen Funktion liegen und voneinander verschieden sind.

Die Steigung lässt sich berechnen mit

Der y-Achsenabschnitt ergibt sich mit

oder

Der gesuchte Funktionsterm ist also gegeben durch

oder einfacher durch

Zusammenfassung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Funktionsgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Funktion mit heißt lineare Funktion. Im Fall wird „ganzrationale Funktion 1. Grades“ oder „Polynom 1. Grades“ als Bezeichnung verwendet.
Die graphische Darstellung des Funktionsgraphen ist eine Gerade.

Achsenschnittpunkte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schnittpunkt mit der x-Achse:
Schnittpunkt mit der y-Achse:

Steigung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zlinfkt 01.gif

Die Steigung des Graphen einer linearen Funktion lässt sich als Koeffizient aus der Funktionsgleichung ablesen.

Aus den Koordinaten zweier Punkte der Geraden wird sie so berechnet:

Funktionsgleichung aufstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Steigung und ein Punkt , der auf der Geraden liegt, seien bekannt.
Ansatz:
  • Die Koordinaten zweier Punkte und die auf der Geraden liegen, seien bekannt.
Zuerst wird der Steigungsfaktor berechnet, dann damit :
oder

Schnittpunkt zweier Geraden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ansatz:
Die Lösung dieser Gleichung ist die x-Koordinate des Schnittpunktes der beiden Geraden.
ist dann die y-Koordinate dieses Schnittpunktes

Orthogonale Geraden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Steigungen und zweier senkrecht aufeinander stehender Geraden und gilt:

Ableitung und Stammfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ableitung von ist ist also immer eine konstante Funktion, da die Ableitung einer Funktion die Steigung ihrer Tangente im Punkt angibt.

Eine Stammfunktion von ist Dies lässt sich folgendermaßen zeigen:

Grenzwerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist in einer Funktion der Koeffizient positiv, so gilt und . Der Graph entwickelt sich von „unten links“ nach „oben rechts“. Ist jedoch negativ, gilt und . Der Graph verläuft also von „oben links“ nach „unten rechts“. Bei dem Sonderfall liegt eine konstante Funktion vor, es gilt also , der Graph verläuft in diesem Fall parallel zur x-Achse.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Lineare Gleichungen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Commons: Lineare Funktionen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien