Lineare Funktion

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Dieser Artikel behandelt die Funktionen in der elementaren Analysis. Für lineare Funktionen in der linearen Algebra siehe Lineare Abbildung.

Als lineare Funktion wird oft (insbesondere in der Schulmathematik) eine Funktion f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} der Form

f(x)= m\cdot x+n \; ; \quad m,n \in \mathbb{R},

also eine Polynomfunktion höchstens ersten Grades, bezeichnet.

Es handelt sich dabei jedoch nicht um eine lineare Abbildung im Sinne der linearen Algebra, sondern um eine affine Abbildung, da die Linearitätsbedingung im Allgemeinen nicht erfüllt ist. Man spricht deswegen auch von einer affin-linearen Funktion. Um eine lineare Abbildung bzw. lineare Funktion im Sinne der linearen Algebra handelt es sich nur im Spezialfall n=0, also f(x) = m x. Solche Funktionen werden auch als homogene lineare Funktion oder Proportionalität bezeichnet. In Anlehnung an diese Bezeichnung wird die Funktion für den Fall n \ne 0 auch allgemeine lineare Funktion oder linear-inhomogene Funktion genannt. In diesem Artikel wird die häufig verwendete Bezeichnung lineare Funktion beibehalten.

Lineare Funktionen gehören zu den relativ einfachen Funktionen in der Mathematik. Sie sind stetig und differenzierbar. Viele Probleme lassen sich für lineare Funktionen leicht lösen; daher versucht man oft, komplizierte Problemstellungen durch lineare Zusammenhänge zu approximieren.

Graph[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Steigungsdreiecke am Graph der linearen Funktion x \mapsto \tfrac{1}{2}x+2

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. In kartesischen Koordinaten (x,y) gilt

y = m\cdot x + n

mit reellen Zahlen m und n, wobei x (die Abszisse) eine unabhängige und y (die Ordinate) die abhängige Variable ist.

Es gibt zahlreiche andere Bezeichnungskonventionen für den Funktionsterm, z. B. ax+b, mx+c, mx+b oder mx+t. In Österreich wird häufig y=kx+d verwendet, in der Schweiz hingegen y=mx+q. In Belgien findet man auch y=mx+p oder y=kx+t.

Diese Darstellung bezeichnet man auch als die Normalform einer linearen Funktion. Ihre zwei Parameter lassen sich wie folgt interpretieren:

Der Graph einer linearen Funktion verläuft nie parallel zur y-Achse, da damit einem x mehr als ein y zugeordnet wäre, was in Widerspruch zur definitorisch geforderten (Rechts-) Eindeutigkeit einer Funktion stünde.

Bestimmung des Funktionsterms aus zwei Punkten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Steigung einer linearen Funktion durch zwei gegebene Punkte

Es wird vorausgesetzt, dass die Punkte (x_1|y_1) und (x_2|y_2) auf dem Graphen der linearen Funktion f liegen und voneinander verschieden sind.

Die Steigung m lässt sich berechnen mit

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.

Der y-Achsenabschnitt n ergibt sich mit

n = y_1 - m \cdot x_1 oder n = y_2 - m \cdot x_2.

Der gesuchte Funktionsterm f(x) ist also gegeben durch

f(x) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot x + \left(y_1 - \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot x_1\right)

oder einfacher durch

f(x) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1) + y_1.

Zusammenfassung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Funktionsgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Funktion f mit f(x)=mx+n heißt lineare Funktion. Im Fall m \neq 0 wird „ganzrationale Funktion 1. Grades“ oder „Polynom 1. Grades“ als Bezeichnung verwendet.
Die graphische Darstellung des Funktionsgraphen ist eine Gerade.

Achsenschnittpunkte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schnittpunkt P mit der x-Achse: P(x_P|0)\Rightarrow f(x_P)=0
Schnittpunkt Q mit der y-Achse: Q(0|y_Q)\Rightarrow y_Q=f(0)

Steigung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zlinfkt 01.gif

Die Steigung \tan\alpha des Graphen einer linearen Funktion f lässt sich als Koeffizient m aus der Funktionsgleichung f(x)=mx+n ablesen.

Aus den Koordinaten zweier Punkte der Geraden wird sie so berechnet:

\tan\alpha = \frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1} = \frac{y_2-y_1} {x_2-x_1} = \frac{\Delta y} {\Delta x}

Funktionsgleichung aufstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Steigung m und ein Punkt P_1(x_1|y_1), der auf der Geraden liegt, seien bekannt.
Ansatz: f(x) = mx + n
P_1(x_1|y_1) \quad \Rightarrow \quad f(x_1) = y_1 \quad \Rightarrow \quad mx_1 + n = y_1 \quad \Rightarrow \quad n = y_1 - mx_1
  • Die Koordinaten zweier Punkte P_1(x_1|y_1) und P_2(x_2|y_2), die auf der Geraden liegen, seien bekannt.
Zuerst wird der Steigungsfaktor m=\frac{y_2-y_1} {x_2-x_1} berechnet, dann damit n:
P_1(x_1|y_1) \quad \Rightarrow \quad f(x_1) = y_1 \quad \Rightarrow \quad mx_1 + n = y_1 \quad \Rightarrow \quad n = y_1 - mx_1
oder
P_2(x_2|y_2) \quad \Rightarrow \quad f(x_2) = y_2 \quad \Rightarrow \quad mx_2 + n = y_2 \quad \Rightarrow \quad n = y_2 - mx_2

Schnittpunkt zweier Geraden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ansatz: f(x)=g(x)
Die Lösung x_S dieser Gleichung ist die x-Koordinate des Schnittpunktes der beiden Geraden.
y_S=f(x_S)=g(x_S) ist dann die y-Koordinate dieses Schnittpunktes S(x_S|y_S).

Orthogonale Geraden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Steigungen m_1 und m_2 zweier senkrecht aufeinander stehender Geraden g_1 und g_2 gilt:
m_1 \cdot m_2=-1
m_1=-\frac{1} {m_2}
m_2=-\frac{1} {m_1}

Ableitung und Stammfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ableitung von f\left(x\right)=mx+n ist f'\left(x\right)=m. f' ist also immer eine konstante Funktion, da die Ableitung einer Funktion die Steigung ihrer Tangente im Punkt P(x|f\left(x\right)) angibt.

Eine Stammfunktion von f ist F\left(x\right)=\frac{m}{2}x^2+nx. Dies lässt sich folgendermaßen zeigen:

F'(x)=\left(\frac{m}{2}x^2+nx\right)'=\frac{m}{2}\cdot\left(x^2\right)'+n\cdot\left(x\right)'=\frac{m}{2}\cdot2x+n=mx+n=f(x)

Grenzwerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist in einer Funktion f(x)=mx+n der Koeffizient m positiv, so gilt \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty und \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty. Der Graph entwickelt sich von „unten links“ nach „oben rechts“. Ist m jedoch negativ, gilt \lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty und \lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty. Der Graph verläuft also von „oben links“ nach „unten rechts“. Bei dem Sonderfall m=0 liegt eine konstante Funktion vor, es gilt also \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} f(x) = n, der Graph verläuft in diesem Fall parallel zur x-Achse.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Lineare Gleichungen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Commons: Lineare Funktionen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien