Links- und rechtsseitige Stetigkeit

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Links- und rechtsseitige Stetigkeit beschreibt in der Mathematik die Eigenschaft, dass eine Funktion nur von einer Seite aus gesehen stetig ist. Durch die „Aufteilung“ der Stetigkeit in linksseitige und rechtsseitige Stetigkeit hat man die Eigenschaft einer stetigen Funktion, „keine Sprünge“ zu machen, aufgeteilt in die Eigenschaften, keine Sprünge zu machen, wenn man sich dem betrachteten Punkt von links bzw. von rechts nähert.

Mathematisch wird einseitige Stetigkeit mithilfe von einseitigen Grenzwerten beschrieben. Ein einseitiger Grenzwert nähert sich dem Wert nur von einer Seite, man unterscheidet also zwischen einem linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert.

Graph einer in linksseitig stetigen Funktion .

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Funktion heißt linksseitig stetig in einem Punkt ihres Definitionsbereichs , wenn für den linksseitigen Grenzwert die Gleichung

gilt, dazu äquivalent wenn die Einschränkung von auf stetig in ist, oder ebenfalls dazu äquivalent wenn die Bedingung

für alle streng monoton steigenden Folgen in gilt.

Analog ist der Begriff der rechtsseitigen Stetigkeit (z. B. über streng monoton fallende Folgen) definiert. Die Stetigkeit von in ist dann äquivalent dazu, dass die Funktion sowohl linksseitig als auch rechtsseitig in stetig ist. Dies ermöglicht eine Klassifizierung von Unstetigkeitsstellen.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Heaviside-Funktion ist in 0 rechtsseitig aber nicht linksseitig stetig. Die Vorzeichenfunktion ist in 0 dagegen weder linksseitig noch rechtsseitig stetig.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]