Vorzeichenfunktion

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Die Vorzeichenfunktion oder Signumfunktion (von lateinisch signum ‚Zeichen‘) ist in der Mathematik eine Funktion, die einer reellen oder komplexen Zahl ihr Vorzeichen zuordnet.

Vorzeichenfunktion auf den reellen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Graph der Vorzeichenfunktion

Die reelle Vorzeichenfunktion bildet von der Menge der reellen Zahlen in die Menge ab und wird in der Regel wie folgt definiert:

Sie ordnet also den positiven Zahlen den Wert +1, den negativen Zahlen den Wert −1 und der 0 den Wert 0 zu.

Bei Anwendungen in der Rechentechnik verzichtet man mitunter auf eine Sonderstellung der 0, diese wird dann den positiven, negativen oder beiden Zahlenbereichen zugeordnet. Dadurch lässt sich das Vorzeichen einer Zahl in einem einzigen Bit kodieren. Da die Null eine Nullmenge unter dem Lebesgue-Maß ist, ist dies für alle praktischen Anwendungen nicht von Bedeutung.

Für den Fall, dass gesetzt wird, besteht folgender Zusammenhang zur Heaviside-Funktion :

Rechenregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch Fallunterscheidung ist leicht beweisbar:

  • Für alle mit Betrag gilt .
für alle .
  • Ist eine Konstante und eine ungerade Funktion, so ist
  • Für ist der Übergang zur reziproken Zahl mit der Signumfunktion verträglich und ändert nichts an deren Wert:
für alle .
  • Die Signumfunktion ist mit der Multiplikation verträglich:
für alle .
für alle .

Aus den beiden letztgenannten Rechenregeln folgt beispielsweise, dass sich die in einem aus beliebig vielen Faktoren zusammengesetzten Argument der Signumfunktion ein Faktor durch ersetzen lässt, ohne den Funktionswert zu ändern:

für beliebige .

Ableitung und Integral[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Vorzeichenfunktion ist an der Stelle 0 nicht stetig.

Die Vorzeichenfunktion ist an der Stelle nicht stetig und damit dort nicht klassisch differenzierbar. Für alle anderen Stellen ist die Vorzeichenfunktion differenzierbar mit . Die Vorzeichenfunktion besitzt auch keine schwache Ableitung. Allerdings ist sie im Sinne von Distributionen differenzierbar, und ihre Ableitung ist , wobei die Delta-Distribution bezeichnet.

Ferner gilt für alle

Die Vorzeichenfunktion ist darüber hinaus die schwache Ableitung der Betragsfunktion.

Vorzeichenfunktion auf den komplexen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Signum von vier komplexen Zahlen

Im Vergleich zur Vorzeichenfunktion reeller Zahlen wird nur selten die folgende Erweiterung auf komplexe Zahlen betrachtet:

Das Ergebnis dieser Funktion liegt für auf dem Einheitskreis und besitzt dasselbe Argument wie der Ausgangswert, insbesondere gilt

Beispiel: (im Bild rot)

Rechenregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die komplexe Vorzeichenfunktion gelten die folgenden Rechenregeln:

Für alle komplexen Zahlen und gilt:

  • für alle wobei den Betrag von bezeichnet;
  • , wobei der Querstrich die komplexe Konjugation bezeichnet;
  • , insbesondere
    • für positive reelle ,
    • für negative reelle ,
    • ;
  • .
  • Falls ist, gilt auch
.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Königsberger: Analysis 1. 6. Auflage. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-40371-X, S. 101.
  • Hildebrandt: Analysis 1. 2. Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-25368-8, S. 133.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]