Vorzeichenfunktion

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Die Vorzeichenfunktion oder Signumfunktion (von lateinisch signum Zeichen) ist in der Mathematik eine Funktion, die einer reellen oder komplexen Zahl ihr Vorzeichen zuordnet.

Vorzeichenfunktion auf den reellen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Graph der Vorzeichenfunktion

Die reelle Vorzeichenfunktion bildet von der Menge der reellen Zahlen in die Menge ab und wird in der Regel wie folgt definiert:

Sie ordnet also den positiven Zahlen den Wert +1, den negativen Zahlen den Wert −1 und der 0 den Wert 0 zu.

Bei Anwendungen in der Rechentechnik verzichtet man mitunter auf eine Sonderstellung der 0, diese wird dann den positiven, negativen oder beiden Zahlenbereichen zugeordnet. Dadurch lässt sich das Vorzeichen einer Zahl in einem einzigen Bit kodieren.

Ableitung und Integral[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Vorzeichenfunktion ist an der Stelle 0 nicht stetig.

Die Vorzeichenfunktion ist an der Stelle nicht stetig und damit dort nicht klassisch differenzierbar. Für alle anderen Stellen ist die Vorzeichenfunktion differenzierbar mit . Die Vorzeichenfunktion besitzt auch keine schwache Ableitung. Allerdings ist sie im Sinne von Distributionen differenzierbar, und ihre Ableitung ist , wobei die Delta-Distribution bezeichnet.

Ferner gilt für alle

Die Vorzeichenfunktion ist darüber hinaus die schwache Ableitung der Betragsfunktion.

Vorzeichenfunktion auf den komplexen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Signum von vier komplexen Zahlen

Im Vergleich zur Vorzeichenfunktion reeller Zahlen wird nur selten die folgende Erweiterung auf komplexe Zahlen betrachtet:

Das Ergebnis dieser Funktion liegt für auf dem Einheitskreis und besitzt dasselbe Argument wie der Ausgangswert, insbesondere gilt

Beispiel: (im Bild rot)

Rechenregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die komplexe Vorzeichenfunktion gelten die folgenden Rechenregeln:

Für alle komplexen Zahlen und gilt:

  • für alle wobei den Betrag von bezeichnet;
  • , wobei der Querstrich die komplexe Konjugation bezeichnet;
  • , insbesondere
    • für positive reelle ,
    • für negative reelle ,
    • ;
  • .
  • Falls ist, gilt auch
.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Königsberger: Analysis 1. 6. Auflage. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-40371-X, S. 101.
  • Hildebrandt: Analysis 1. 2. Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-25368-8, S. 133.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]