Ljapunow-Diagramm

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Ljapunow-Fraktal mit der Sequenz ba, bekannt als Ljapunow Space
Ljapunow-Fraktal mit der Sequenz bbbbbbaaaaaa, bekannt als Zircon Zity

Ljapunow-Diagramme (nach Alexander Michailowitsch Ljapunow; auch bekannt als Ljapunow-Fraktale oder Markus-Ljapunow-Fraktale) sind Fraktale, die durch eine Modifikation der Logistischen Gleichung entstehen. Der Wachstumsgrad der Population – – wird anders als bei Logistischen Gleichung, nicht für jeden Punkt konstant gehalten, sondern in periodischen Sequenzen (z. B. Sequenz "ABAAB") zwischen zwei Werten und , mit umgeschaltet.

Die logistische Gleichung lautet

mit dem üblichen Startwert . In diesem Beispiel (Sequenz "ABAAB" mit der Länge 5) würde

,
,
,
,

gewählt werden.

Daraus ergeben sich folgende mathematischen und gestalterischen Unterschiede zur Logistischen Gleichung:

  • Man hat statt einer Zahl zwei Zahlen und auszuwählen. Dadurch erhält man statt einer eindimensionale Funktion eine zweidimensionale Funktion .
  • Man stellt daher nicht mehr die Werte der Reihe , , als Funktion über dar, sondern genauso wie beim Apfelmännchen das Konvergenzverhalten der Reihe als Karte von .
  • Man hat die Sequenzfolge als weiteren Gestaltungsfaktor.

Dann werden für Werte (a,b) aus Intervallen, die – um interessante Figuren zu bekommen – meist im Bereich und gewählt werden, jeweils die Iterationswerte der logistischen Gleichung berechnet und der Ljapunow-Exponent berechnet:

Ist der Wert von , wählt man für den Punkt mit den Koordinaten (a,b) z. B. gelb als Farbe, ist er größer als Null (was zu exponentiellem Wachstum führt, Chaos), wählt man z. B. blau als Farbe. Entsprechend kann man die Farbwerte noch abstufen je nach der Größe von . Das Ergebnis ist das Ljapunow-Diagramm, das häufig fraktaler Natur ist. Ein Beispiel ist das Diagramm Zircon Zity, gebildet mit und und der Sequenz (bbbbbbaaaaaa).

Mehr Dimensionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

3D-Lyapunov-Fraktal mit der Sequenz ABBBCA als Animation
3D-Rendering eines Lyapunov-Fraktals mit der Sequenz ABCCAAB

Es können mehr als zweidimensionale Lyapunov-Diagramme generiert werden, indem man

  • mehr als zwei Werte, z B. die Werte a, b und c wählt,
  • Sequenzen definiert, die diese Werte benutzen, z. B. "ABCC",
  • geeignete Wertebereiche für a, b und c wählt.

In diesem Beispiel (Sequenz "ABCC" mit der Länge 4) würde

,
,
,

gewählt werden.

Dreidimensionale Darstellungen können dabei auch als Animation dargestellt werden.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Commons: Lyapunov fractals – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien